PDF de programación - Modelo posibilista: Objetivos

Modelo posibilista: Objetivos

Modelo posibilista

Introducción

Intentamos representar la imprecisión del lenguaje
Los expertos expresan su conocimiento como apreciaciones
cualitativas
Dos elementos:

Variables definidas sobre un dominio (Universo del discurso)
Conjuntos de términos cualitativos sobre las variables (etiquetas
lingüísticas)

Por ejemplo: “La temperatura es alta”

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Conjuntos difusos

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Conjuntos difusos

Una etiqueta lingüística no representa un conjunto en el sentido
clásico
Dependiendo del valor concreto, la creencia en la pertenecia al
conjunto varía (difícil determinar la frontera)
Los conjuntos difusos representan la pertenencia como un valor
continuo
Podemos usar ese concepto para modelar la imprecisión del lenguaje

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201010201010Conjunto ClásicoConjunto DifusoConjuntos difusos/Lógica difusa

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Conjuntos difusos

La lógica posibilista se basa en la teoría de los conjuntos difusos
(lógica difusa)
Una etiqueta lingüística se identifica con un conjunto difuso
Los conjuntos difusos se definen a partir de su función característica
(µA : U −→ [0, 1])
Cada conjunto difuso relaciona un valor de un dominio con un grado
de pertenencia a traves de la función de posibilidad (πA : U −→ [0, 1])
En la práctica consideraremos que µA = πA

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Hechos difusos

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Conjuntos difusos

El conocimiento sobre el dominio lo expresaremos mediante hechos
difusos
Siendo X la variable en un dominio U y A un conjunto difuso definido
sobre U, podremos decir [X es A]
Por ejemplo: [La temperatura es agradable], [La temperatura es fría]

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101520253010FRIACALUROSAAGRADABLEConectivas difusas

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Conectivas Difusas

Para poder combinar hechos difusos y crear expresiones más
complejas utilizaremos las conectivas de la lógica difusa
Éstas son una extensión contínua de las conectivas de la lógica clásica
Combinarán los valores de posibilidad de los hechos para dar el valor
de posibilidad de la combinación
Utilizaremos tres conectivas: conjunción, disyunción y negación

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Conjunción Difusa: T-norma

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Conectivas Difusas

La función que calcula la conjunción se denomina T-norma, se define
como T (x , y ) : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] y ha de satisfacer las propiedades:

1 Conmutativa, T (a, b) = T (b, a)
2 Asociativa, T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c)
3 T (0, a) = 0
4 T (1, a) = a
5 Es una función creciente, T (a, b) ≤ T (c, d) si a ≤ c y b ≤ d

Por ejemplo

T (x , y ) = m«ın(x , y )
T (x , y ) = x · y
T (x , y ) = m«ax(0, x + y − 1)

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Disyunción Difusa

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Conectivas Difusas

La función que calcula la disyunción se denomina T-conorma, se define
como T (x , y ) : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] y ha de satisfacer las propiedades:

1 Conmutativa, S(a, b) = S(b, a)
2 Asociativa, S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c)
3 S(0, a) = a
4 S(1, a) = 1
5 Es una función creciente, S(a, b) ≤ S(c, d) si a ≤ c y b ≤ d

Por ejemplo:

S(x , y ) = m«ax(x , y )
S(x , y ) = x + y − x · y
S(x , y ) = m«ın(x + y , 1)

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Negación Difusa

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Conectivas Difusas

La función que permite negar una función de posibilidad es denominada
negación fuerte y se define como N(x ) : [0, 1] → [0, 1] y ha de satisfacer las
propiedades:

1 N((N(a)) = a
2 Es una función decreciente, N(a) ≥ N(b) si a ≤ b

Ejemplos de funciones que cumplen estas propiedades son:

√

N(x ) = 1 − x
N(x ) =
Nt(x ) = 1−x

1 − x2
1+t·x t > 1

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Combinación difusa

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El resultado de la combinación de hechos difusos es un nuevo
conjunto difuso
Las caracterísiticas de este conjunto dependerán de si la combinación
es de hechos que pertenecen al mismo universo de discurso.
Si todos los hechos pertenecen al mismo universo el nuevo conjunto
difuso será una función característica en una dimensión

πA⊗B(U) = f (πA(U), πB(U))

Si los hechos pertenecen a diferentes universos la función
característica tendrá tantas dimensiones como universos diferentes
tengan los hechos

πA⊗B(U,V) = f (πA(U), πB(V))

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Hechos difusos de un mismo dominio

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101520253001AGRADABLE101520253001CALUROSAHechos difusos de un mismo dominio

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1015202530AGRADABLEYCALUROSA1015202530AGRADABLEOCALUROSA0101101520253001AGRADABLENOHechos difusos de diferentes dominios

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1.50.51.02.02.510203040500101ALTOJOVENHechos difusos de diferentes dominios

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Conectivas Difusas

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10203040501.50.51.02.02.51JOVEN001ALTO1AltoJoven0min(Alto,Joven)ALTO Y JOVENconj(alto(x),joven(y)) 0.833 0.667 0.5 0.333 0.16700.511.522.50510152025303540455000.51Hechos difusos de diferentes dominios

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Conectivas Difusas

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10203040501.50.51.02.02.51JOVEN001ALTOALTO O JOVEN1Altomax(Alto,Joven)Joven0disy(alto(x),joven(y)) 0.833 0.667 0.5 0.333 0.16700.511.522.50510152025303540455000.51Inferencia en lógica difusa

Modelo posibilista

Inferencia difusa

Debemos incluir la implicación como operador de combinación
Debemos definir la semántica/funcionamiento de la implicación
Dos escenarios:

Razonamiento con datos difusos (definir la función de combinación
para la implicación, regla del modus ponens)
Razonamiento con datos precisos (definir como calcular la posibilidad
del antecedente y del consecuente)

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Inferencia con datos precisos

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Inferencia difusa

Se utilizan dos modelos

Modelo de inferencia de Mamdani: El consecuente de la regla es
un hecho difuso, el resultado será la aplicación del valor de posibilidad
del antecedente al consecuente
Modelo de inferencia de Sugeno: El consecuente de la regla es una
función lineal de los valores de posibilidad de los antecedentes, el
valor de la función es el resultado del consecuente

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Modelo de inferencia de Mamdani

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Inferencia difusa

Evaluación de los antecedentes: Cálculo para todas las reglas del
valor de posibilidad de los valores precisos en el antecedente y su
combinación.
Evaluación de los consecuentes: Cada consecuente se ponderará
según el valor de posibilidad de su antecedente.
Combinación de las conclusiones: Las conclusiones se combinarán
en un conjunto difuso que representa la conclusión conjunta
Obtención del valor preciso (Nitidificación): Se calcula el valor
preciso correspondiente a la etiqueta obtenida (por ejemplo el centro
de gravedad del conjunto)

bR

CDG(f (x )) =

a

f (x ) · xdx
bR

f (x )dx

a

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Inferencia Difusa: Ejemplo (1)

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Inferencia difusa

Supongamos que tenemos dos variables de entrada E1 y E2 y una variable
de salida S que pueden tomar valores en los conjuntos siguientes de
etiquetas lingüísticas:

E1={bajo,medio,alto}
E2={nada,algo,normal,mucho}
S={cerrar,abrir}

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Inferencia Difusa: Ejemplo (2)

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Inferencia difusa

Estas etiquetas están descritas mediante los siguientes conjuntos difusos

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E232145678AlgoNormalS255075100125150175CerrarAbrirMuchoE1510152025303540BajoMedioAltoNadaInferencia Difusa: Ejemplo (3)

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Inferencia difusa

Supongamos que tenemos el siguiente conjunto de reglas:
R1. si ([E1=medio] o [E1=alto]) y [E2=mucho] entonces [S=cerrar]
R2. si [E1=alto] y [E2=normal] entonces [S=cerrar]
R3. si [E1=bajo] y no([E2=mucho]) entonces [S=abrir]
R4. si ([E1=bajo] o [E1=medio]) y [E2=algo] entonces [S=abrir]
Las funciones de combinación son el mínimo para la conjunción, máximo
para la disyunción y 1 − x para la negación y los valores concretos que
tenemos para las variables E1 y E2 son 17.5 y 6.5 respectivamente.

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Inferencia Difusa: Ejemplo (4)

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Inferencia difusa

Si trasladamos esos valores a los conjuntos difusos de las variables E1 y
E2 obtenemos los siguientes valores de posibilidad

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32145678NormalMucho0.75510152025303540BajoMedioAltoE10.125E20.5NadaAlgoInferencia Difusa: Ejemplo (5)

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Inferencia difusa

Si evaluamos la regla R1 tendríamos:
[E1=medio] = 0.75, [E1=alto] = 0, [E2=mucho] = 0.5 ⇒ min(max(0.75,0),0.5) = 0.5
Por lo que tenemos 0.5 · [S=cerrar]

Si evaluamos la regla R2 tendríamos:
[E1=alto] = 0, [E2=normal] = 0.5 ⇒ min(0,0.5