PDF de programación - Lección 5: Demodulación y Detección en Banda Base. Parte I

Lección 5: Demodulación y Detección

en Banda Base. Parte I

Gianluca Cornetta, Ph.D.
Dep. de Ingeniería de Sistemas de Información y Telecomunicación
Universidad San Pablo-CEU

Contenido

Señales y Ruido
Detección de Señales Binarias con Ruido

Gaussiano

15/10/2013

© 2012 Gianluca Cornetta, Comunicaciones Digitales

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Señales y Ruido

 La demodulación es una operación necesaria también para
señales en banda base (ya en forma de pulsos) porque la señal
recibida está afectada por varias fuentes de distorsión:
 Un filtrado imperfecto para limitar la señal en banda antes de la

transmisión

 El ruido del canal de transmisión
 El filtrado imperfecto en recepción
 Todas las causas anteriores generan Interferencia Intersímbolo (ISI)
 Existen también fuentes de ruido de natura eléctrica e

interferencias de dos tipos:
 Fuentes externas: ruido galáctico y atmosférico, transitorios de
conmutación, ruido de intermodulación e interferencia de otras
fuentes

 Fuentes internas: ruido térmico (proceso aleatorio con distribución

Gaussiana)

 Debido a los efectos del ruido la señal recibida debe ser pre-
procesada para eliminar las interferencias antes de realizar la
detección

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Señales y Ruido

El ruido térmico es de tipo blanco (white noise),
es decir tiene una densidad espectral de potencia
constante Gn( f )=N0/2 para todas las frecuencias
de interés (hasta 1012 Hz)

El ruido térmico es la fuente principal de ruido
para la mayoría de sistemas de telecomunicación
por ello
las propiedades del ruido térmico
(aditivo, blanco, y gaussiano –AWGN) se utilizan
para modelar el ruido que afecta al proceso de
detección durante el diseño de receptores

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Señales y Ruido

Si el mensaje enviado no incorpora ningún tipo de codificación para la detección y
corrección de errores, la salida del detector es una serie de estimaciones de símbolos de
mensaje (o bits), mi (hard decisions). Si el mensaje utiliza códigos para detección y
corrección de errores, la salida del detector es una serie de estimaciones de símbolos de
canal (o bits codificados) ui (hard o soft decisions)

^

^

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Señales y Ruido

 El proceso de demodulación se divide en dos partes:

 Demodulación: que consiste en generar una serie de pulsos no

distorsionados en banda base

 Detección: que consiste en determinar el significado digital del pulso

recibido

 Al final de cada tiempo de símbolo T el sistema muestrea un valor de
tensión z(T)=ai(T)+n0(T) directamente proporcional a la energía del
símbolo y del ruido recibidos
 ai(T) es la componente de señal, n0(T) la componente de ruido (Gaussiano

con media nula)

 Si el ruido es un proceso aleatorio de tipo Gaussiano y el filtro de
recepción es lineal, la salida del filtro z(T) será también un proceso
aleatorio de tipo Gaussiano

 z(T) es una variable Gaussiana con valor medio a1 o a2 dependiendo de si

ha sido transmitido un 1 binario o un 0 binario

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Señales y Ruido

La demodulación es ligada a la energía de la señal y no a su forma, de hecho el filtro de
recepción (matched filter) asocia a todas las señales con la misma energía el mismo valor
de z(T). z(T) representa el rango de posible valores de las muestras en la salida del
demodulador, mientras que =0 representa el umbral de recepción óptima para
discriminar entre s1 y s2. Si z(T)=0 el detector realiza una elección arbitraria.

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Señales y Ruido

 Un conjunto arbitrario de formas de onda puede ser
generado a partir de una base de funciones ortogonales
{j(t)}:



 Esta relación se conoce también como transformación de
Fourier generalizada y puede expresarse de forma más
compacta como:


 Donde:



 El coeficiente aij es el valor de la componente j(t) de la

señal si(t)

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tatatatstatatatstatatatsNMNMMMNNNN22112222121212121111MNMitatsNjjiji,,11TtNjMidtttsKaTjijij0,,1 ,,110Señales y Ruido

 Un espacio ortogonal N-dimensional está
formado por un conjunto de N funciones
{j(t)} linealmente
independientes tales
que:



 Donde el operador jk (conocido como delta

de Kronecker) es definido como:



 Si los Kj 0 el espacio es ortogonal
 Si la base está normalizada de manera que

los Kj=1 el espacio es ortonormal

 Generar señales a partir de una base
ortogonal simplifica el proceso de detección
ya que esta operación se basa en calcular
una norma euclidea

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TtNkjKdtttTjkjkj0,,1,0otherwise0for 1kjjkSeñales y Ruido

 La energía Ei asociada a una señal si(t) durante el tiempo de

símbolo T es:



 Si las {j(t)} pertenecen a una base ortonormal, Ei
representa la energía normalizada durante el tiempo de
símbolo:


 Si todas las señales si(t) que representan el alfabeto de
símbolos a transmitir tienen la misma energía, la expresión
anterior se vuelve:

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MiKadttadttadttsENjjijjTjijTjjijTii,1120222002NjijiaE12iaENjij12Señales y Ruido

 El ruido n(t)=n(t)+n(t) que afecta al receptor puede considerarse como la

^

suma de dos contribuciones:
 La componente n(t) es la parte de ruido que interfiere con el proceso de

^

 La componente n(t)=n(t)-n(t) es la parte de ruido que es efectivamente

^

~

~

detección

filtrada por el receptor

 En ruido AWGN n(t), en el mismo modo que las señales, puede ser
expresado como una combinación lineal de una base de funciones
ortogonales, es decir:



 Por consiguiente:



 La contribución de ruido que interesa es sólo n(t) por tanto se la indicará

^

simplemente con n(t), de forma equivalente, n=(n1,n2,…,nN)

 n es un vector aleatorio con media nula y distribución Gaussiana

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Njjjtntn1ˆjdtttndtttnKntntntnTjTjjjNjjj0~1~001Señales y Ruido

 La densidad espectral de potencia del ruido AWGN es
constante e igual a N0/2 para todas las frecuencias de
interés, por tanto la potencia media de ruido es igual a la
varianza (ya que n(t) es un proceso aleatorio con media
nula) y es infinita:



 No obstante para ruido AWGN filtrado se puede demostrar

que la varianza es finita e igual a:

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dfNtn2var022var0202NdfttnnTjjESeñales y Ruido

 Las formas de ondas analógicas son señales de potencia
(con potencia media finita y energía infinita) por tanto la
potencia (velocidad de entrega de la energía) es una
medida más adecuada para su caracterización

 Las formas de ondas digitales son señales de energía
(energía finita pero potencia media nula) por tanto la
energía de un símbolo (es decir, la potencia integrada
durante el tempo de símbolo Ts) es la figura de mérito más
adecuada

 Asimismo, formas de onda digitales con la misma relación
S/N pueden estar codificando un número de bits distintos,
por lo que los requerimientos en términos de relación S/N
por bit transmitido cambian

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Señales y Ruido

 Eb /N0 es una versión normalizada del
SNR que se utiliza en sistemas
digitales
 Eb=STb es

la energía por bit
transmitido (S es la potencia de señal
y Tb el tiempo de bit)

 N0=N/W es la densidad espectral de
potencia de ruido (N es la potencia de
ruido y W el ancho de banda)

 El tiempo Tb de bit puede expresarse
también en función del bit-rate Rb,
por tanto (simplificando la notación
poniendo R=Rb) Eb/N0 resulta ser:

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RWNSWNRSWNSTNEbbb0Detección de Señales Binarias con Ruido Gaussiano
 La decisión en recepción se basa en comparar una muestra z(T) con una
tensión de umbral  y de aplicar una regla H1 si la muestra es mayor que 
y una regla H2 en caso contrario

 Un criterio razonable para

comparación de las probabilidades a posteriori:



la toma de decisiones se basa en

la

 Aplicando el teorema de Bayes, la probabilidad a posteriori puede
relacionarse con la probabilidad a priori P(sj) de transmitir el símbolo sj y
con la verosimilitud de recibirlo (es decir su PDF condicionada):



 El test se basa en escoger el símbolo con la máxima probabilidad a
posteriori (maximum a posteriori criterion –MAP) por lo que se conoce
también como criterio de error mínimo (minimum error criterion)

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zsPzsPHH||2112122122111212||||sPsPszpszpsPszpsPszpHHHHDetección de Señales Binarias con Ruido Gaussiano

 Si P(s1)=P(s2) y las verosimilitudes p(z|si) (con i=1,2) son simétricas

se obtiene:



 Donde a1 es la componente de señal de cuando es transmitido s1(t)