PDF de programación - Breve introducción a Maple y campos de radiación

LABORATORIO DE FÍSICA COMPUTACIONAL

DEPARTAMENTOS DE FÍSICA TEÓRICA I y II

ELECTRODINÁMICA CLÁSICA

BREVE INTRODUCCIÓN A MAPLE Y CAMPOS

DE RADIACIÓN

NOMBRE:
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GRUPO:

Comandos básicos de Maple

Si en el futuro le fuese necesaria, puede encontrar Vd. mas ayuda abriendo con el raton el menu
"help" en la esquina superior derecha donde encontrara un "New Users Tour" (mas amplio que estas
notas) y un indice de busqueda especifico.

Maple como calculadora

Los comandos en Maple se escriben en una línea de comando. Deben acabar en punto y coma

OOOO OOOO

1+1;

OOOO OOOO

2^10;

OOOO OOOO

3489*23256/51;

OOOO OOOO

(2^30/3^20)*sqrt(3);

4*(3+Pi);

OOOO OOOO
OOOO OOOO

La evaluación numérica se fuerza con el comando evalf (% se refiere al último output)

OOOO OOOO

evalf(%);

con precisión arbitraria

OOOO OOOO

200!;

OOOO OOOO

evalf(Pi,1000);

Maple remite operar con variables sin un valor asignado, de forma "simbólica"

OOOO OOOO

a;

Para dar un valor a una variable (que Maple ha de recordar si vuelve a utilizar la variable) se
utiliza en operador de asignación (:= ).

OOOO OOOO

a:=4;

OOOO OOOO

a;

El comando unassign elimina asignaciones previas:

OOOO OOOO

unassign('a');a;

El comando restart borra todas las definiciones y asignaciones realizadas.

OOOO OOOO

restart;

Expresiones y funciones

En Maple están definidas la mayoría de las funciones básicas del análisis matemático, existiendo
definiciones para valores especiales:

OOOO OOOO

sin(5*Pi/3);

OOOO OOOO

sec(Pi/4);

OOOO OOOO

arcsin(-1);

Existen funciones generales de manipulación de expresiones matemáticas. La función expand
tiene un efecto determinado sobre funciones trigonométricas:

OOOO OOOO

expand(sin(2*x));

OOOO OOOO

expand(cos(4*x));

La función simplify intenta simplificar expresiones, aunque no siempre produce una respuesta
unívoca:

OOOO OOOO

simplify(%);

OOOO OOOO

simplify(cos(4*x));

Se pueden definir funciones adicionales, cuya sintaxis es la de una correspondencia entre
elementos de dos conjuntos:

OOOO OOOO

mifuncion := (x,y) -> abs(x-y);

Ahora disponemos de una función nueva, mifuncion(x,y).

OOOO OOOO

mifuncion(3,5);

OOOO OOOO

mifuncion(-4,3);

Se puede usar la función solve para resolver ecuaciones de forma exacta

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solve( x^3-6*x^2+11*x-6=0, x);

(como es una ecuación cúbica, nos ha dado 3 soluciones). Con parámetros:

OOOO OOOO

solve( x^3-a*x^2+11*x-6=0, x);

fsolve calcula la solución numérica en un intervalo

OOOO OOOO

f := sin(x + y) - exp(x)*y = 0:
g := x^2 - y = 2:
fsolve( {f, g}, {x = -1..1, y = -2..0} );

Cálculo infinitesimal

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restart;

Se pueden calcular derivadas e integrales de modo simbólico, tomándose las variables no
asignadas como constantes.

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f:=x-> x*sin(a*x)+b*x^2;

OOOO OOOO

df:=diff(f(x),x);

OOOO OOOO

int(df,x);

OOOO OOOO

simplify(%);

Se pueden calcular integrales definidas.

OOOO OOOO

int(df,x=0..1);

Para hallar los extremos de una función podemos hacerlo con la derivada o usar un comando
específico para ello:

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f := x-> x*(x-1)*(x+1);

Gráficos

OOOO OOOO

restart;

Para representar gráficamente una función dada por una expresión podemos usar el comando plot.
Por ejemplo, la gráfica de 3 x2 K8 para x de - 5 a 5 .

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plot(3*x^2-8,x=-5..5);

Funciones como ésta tienen muchas opciones, para conocerlas se puede consultar la ayuda de
Maple

OOOO OOOO

?plot

La función dibujada puede estar definida fuera del comando plot:

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f:=x-> sin(1/x);

OOOO OOOO

plot(f(x),x=0..1);

Mas aún, se pueden definir como funciones dependientes de algún parámetro las propias gráficas.
Esto es especialmente útil a la hora de representar varios gráficos simultáneamente, para lo cual
hemos de cargar primero el paquete "plots" de maple:

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with(plots);

OOOO OOOO

f:= (x,k) -> k*x;

OOOO OOOO

gr:= k-> plot(f(x,k),x=0..1/k);

OOOO OOOO

display(gr(1),gr(2),gr(3));

Se pueden representar funciones dadas en coordenadas polares usando la siguiente opción:

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plot(sin(x), x=0..2*Pi,coords=polar);

Se pueden crear gráficos tridimensionales (obsérvese el uso de algunas opciones nuevas)

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plot3d(x*exp(-x^2-y^2),x=-2..2,y=-2..2, axes=BOXED, title=
"Gráfico de una superficie");

Pruebe a pinchar con el raton sobre la imagen y rote la figura.

Para representar funciones en coordenadas esféricas podemos utilizar la siguiente notación:

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plot3d(1,phi=0..2*Pi,theta=0..Pi/2, coords=spherical,
scaling=constrained, axes=boxed);

También se puede dibujar valores de una lista.

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lista:=[seq([t^2, cos(t)], t=0..40,0.01)]:

OOOO OOOO

listplot(lista);

Resolución de ecuaciones diferenciales con Maple

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restart;

Problemas de valores iniciales

Definamos un sistema de ecuaciones diferenciales simple (aceleracion=0) . Para ello nos hace
falta una lista:

Aceleracion:=diff(x(t),t,t),diff(y(t),t,t),diff(z(t),t,t);

OOOO OOOO
OOOO OOOO

Necesitaremos resolver un problema de valores iniciales. He aqui el valor inicial:

OOOO OOOO

valor_inicial:=x(0)=0, y(0)=0, z(0)=0, D(x)(0)=1,D(y)(0)=1,
D(z)(0)=0;

OOOO OOOO

Resolvamos el ststema de manera exacta:

OOOO OOOO

dsolve({Aceleracion, valor_inicial},{x(t),y(t),z(t)});

A continuacion obtengamos la solucion numerica en un intervalo y dibujemosla:

OOOO OOOO

solucion:=dsolve({Aceleracion, valor_inicial},numeric, {x
(t),y(t),z(t)},range=0...2);

OOOO OOOO

with(plots): odeplot(solucion, [x(t),y(t),z(t)],0..2,axes=
boxed);

OOOO OOOO

restart;

Partícula cargada en campos eléctrico y magnético constantes y
perpendiculares

Resolvamos a continuacion la ecuacion de Lorentz no relativista para E,B perpendiculares
(unidades SI).

OOOO OOOO

q:=1.6E-19; m:=9.1E-31; c:=3E8;

OOOO OOOO

E:=Vector[row]([1E7,0,0]);

OOOO OOOO

B:=Vector[row]([0,0.42,0]);

En vista de ello, la fuerza por unidad de masa será:

OOOO OOOO

with(LinearAlgebra):

OOOO OOOO

Fuerza:= (r,v) -> (q/m)*(E+CrossProduct(v,B));

OOOO OOOO

pos:=Vector[row]([x(t),y(t),z(t)]);

OOOO OOOO

v:=Vector[row]([diff(x(t),t),diff(y(t),t),diff(z(t),t)]);

OOOO OOOO

Aceleracion:=Vector[row]([diff(x(t),t,t),diff(y(t),t,t),
diff(z(t),t,t)]);

OOOO OOOO

total:=Aceleracion-Fuerza(pos,v);

La variable "total" contiene las ecuaciones de movimiento en un vector. Para pasarselas a odeplot,
necesitamos una lista. Asi que extraemos las componentes del vector como sigue:

OOOO OOOO

Ecuaciones_movimiento := total[1],total[2],total[3]:

OOOO OOOO

valor_inicial:= x(0)=0, y(0)=0, z(0)=0, D(x)(0)=0, D(y)(0)
=1E7, D(z)(0)=1E7;

PREGUNTA: Resuelva numericamente con maple la ecuacion de Newton para esta fuerza y
dibuje su solucion desde cero hasta 4E-10 segundos. De tambien la solucion analitica con maple.
Comente brevemente sus resultados.

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OOOO OOOO

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Distribuciones angulares de campos de cargas en movimiento

Movimiento rectilíneo uniforme

El campo próximo o de velocidad para una carga en movimiento uniforme es radial respecto a la
posición actual de la partícula y el observador.
Pero el módulo de dicho campo depende de la dirección de observacion.

E(t) = e

r t

2
2
sin2
r t 3 γ
1 Kβ
θ

3
2

siendo θ el ángulo entre r y ββββ β =

OOOO OOOO

restart;

v
c

, γ =

1

2
1Kβ

.

PREGUNTA:
Suponiendo un movimiento uniforme en la dirección Z. a) Definir una función campo(θ,φ,β) que
dé el módulo del campo a una distancia arbitraria en función de la dirección, con carga e=1. b)
Dibujar esta intensidad de campo usando el comando de dibujo en coordenadas esféricas, para las

velocidades: β=0, β=0.5,β=0.9. Comentar los resultados.

PREGUNTA:a) Definir una función dibuja(β) que represente un corte bidimensional de la
intensidad del campo anterior para la velocidad especificada. b) Mostrar en la misma gráfica
(usando display) la intensidad para β=0,0.7,0.9.

OOOO OOOO

with(plots):

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

La distribución angular de potencia radiada en tiempo de emisión por una carga en movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado es:

d P t'
dΩ

=

e2a2
4πc

2

sin θ

1Kβ cos θ

5

siendo θ el ángulo entre r y ββββ. Nótese que a es la aceleración dividida por c y que es paralela a β.

PREGUNTA: Suponiendo un movimiento uniformemente acelerado en la dirección OZ.
Dibujar la potencia radiada usando el comando de dibujo en coordenadas esféricas, con carga e=1
y distintas velocidades: β=0, β=0.5,β=0.9 y aceleración a=1. Comentar los resultados.

PREGUNTA: Representar en dos dimensiones la potencia radiada por una carga en movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado para varias velocidades, en coordenadas polares y cartesianas

PREGUNTA: Utilizando las funciones fsolve y seq, generar una lista de pares (β,thetamax , en
donde thetamax es el ángulo de máxima emisión para la velocidad β.

PREGUNTA: En la aproximación ultrarrelativista, el máximo de emisión se encuentra para el
ángulo 1/2γ. Dibujar en la misma gráfica esta aproximación y el resultado exacto anterior (con
listplot) en función de beta.

Movimiento circular uniforme
En el caso de movimiento circular uniforme:

d P t'
dΩ

=

e2 a2
4πc

1K

sin θ

2
2
cos 4 2 1Kβ

1Kβ cos θ

1Kβ cos θ

2

3

Siendo a la aceleración medida por un sistema de referencia inercial.

PREGUNTA: Representar la potencia radiada en el caso de un movimiento circular uniforme en
el plano XZ suponiendo e = 1, a = 1 para diversos valores de β.Discutir los resultados. ¿En qué
dirección se anula la potencia radiada?