PDF de programación - Análisis numérico

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numérico

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numérico

José Alberto Gutiérrez Robles
Miguel Ángel Olmos Gómez
Juan Martín Casillas González
Universidad de Guadalajara

Revisión técnica

José Job Flores Godoy
Universidad Iberoamericana
Ciudad de México

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK

SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL

NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

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www.FreeLibros.meDirector Higher Education: Miguel Ángel Toledo C.
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez
Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha M.
Editora de desarrollo: Ana Laura Delgado R.
Supervisor de producción: Zeferino García G.

ANÁLISIS NUMÉRICO

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2010, respecto a la primera edición por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
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Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A
Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe
Delgación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0316-9

1234567890

Impreso en México

109876543210

Printed in Mexico

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Acerca de los autores
Prefacio XI

IX

Capítulo 1

Notación 1

Cálculo computacional 1
1.1 Introducción 1
1.2 Preliminares matemáticos 1

1.3 Series de Taylor 3

Serie de Taylor 4
n-ésimo polinomio de Taylor 6

1.4 Código binario 10
1.5

Números en representación de
punto flotante y su aritmética 11

Problemas propuestos 14

Capítulo 2

Solución de ecuaciones no
lineales 17
2.1 Introducción 17
2.2 Método de bisección 17
2.3

Método de la falsa posición o regla
falsa 22

2.4 Método de la secante 24
2.5 Método del punto fijo 27
2.6 Método de Newton-Raphson 30

2.7

Análisis de resultados 34
Aproximaciones iniciales de los cruces
por cero 35
Sistemas de ecuaciones no
lineales 35
2.8.1 Newton-Raphson 35
2.8.2 Punto fijo multivariable 37



2.9 Comparación de métodos 45

2.8

2.10 Programas desarrollados en

Matlab 46
2.10.1 Método de bisección 46
2.10.2 Método de regla falsa o falsa

posición 48

2.10.3 Método de la secante 50
2.10.4 Método de punto fijo 51
2.10.5 Método de Newton-

Raphson 52

2.10.6 Método de Newton-Raphson



para sistemas de
ecuaciones 54



2.10.7 Método de punto fijo
multivariable; Gauss y
Gauss-Seidel 55
Problemas propuestos 56

Capítulo 3

Solución de ecuaciones
polinomiales 59
3.1 Introducción 59
3.2 Aritmética para polinomios 60



3.3 Aproximaciones iniciales 64


3.2.1 Multiplicación anidada 60
3.2.2 División sintética 61
3.2.3 Evaluación de la derivada 63

3.3.1

Propiedades de los
polinomios 64


3.4



3.3.2 Sucesión Sturm 65
Solución completa de un
polinomio 65
3.4.1

Procedimiento de
deflación 66

3.4.2 Método de Bairstow 67
3.4.3 Método de Laguerre 69
3.4.4 Método de Bernoulli 71
3.4.5 Método de Newton 74

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3.4.6

Algoritmo de diferencia de
cocientes 76

3.4.7 Método de Lehmer-Schur 79
3.4.8

Método de raíz cuadrada de
Graeffe 79

3.5 Método de Jenkins-Traub 81
Etapas del método de

Jenkins-Traub 82

3.5.1

3.7.1

3.6 Comparación de métodos 84
3.7 Programas desarrollados en Matlab 84
División sintética por un factor

simple 85
División sintética por un factor
cuadrático 85

3.7.2



3.7.3 Método de Bairstow 86
3.7.4 Método de Laguerre 88
3.7.5 Método de Bernoulli 90
3.7.6 Método de Newton 92
3.7.7

Algoritmo de diferencia de
cocientes 94
Método de raíz cuadrada de
Graeffe 95



3.7.8

3.7.9 Método de Jenkins-Traub 97


Problemas propuestos 100

Capítulo 4

Inversa de una matriz 114

Solución de ecuaciones lineales
simultáneas 105
4.1 Introducción 105
4.2 Métodos directos 106



4.2.1 Eliminación gaussiana 106
4.2.2 Eliminación de Gauss-Jordan 112
4.2.3
4.2.4 Factorización LU 118
4.2.5 Factorización Doolittle-Crout 121
4.2.6 Método de Choleski 123
4.2.7 Factorización LU y QR 124
4.2.8

Matrices con formación especial
(tipo banda) 126
4.3 Métodos iterativos 127



4.3.1 Método de Jacobi 127
4.3.2 Método de Gauss-Seidel 129
4.3.3 Sobrerrelajación 130
4.3.4

Convergencia de los métodos
iterativos 130

4.3.5 Matrices dispersas 131


4.4 Casos especiales 132


4.4.1

Sistema de ecuaciones
subdeterminado 132



4.4.2

Sistema de ecuaciones
sobredeterminado 133

4.5 Comparación de los métodos 134
4.6 Programas desarrollados en Matlab 135



4.6.1 Eliminación gaussiana 135
4.6.2 Eliminación de Gauss-Jordan 136
4.6.3
4.6.4

Inversa de una matriz 136
Inversa de una matriz con pivoteo
parcial 137
Inversa de una matriz con pivoteo
total 138

4.6.5

4.6.6 Factorización LU 139
4.6.7 Factorización Doolittle-Crout 140
4.6.8 Método de Cholesky 141
4.6.9 Factorización QR 142
4.6.10 Método de Jacobi 142
4.6.11 Método de Gauss-Seidel 143
4.6.12 Sistema de ecuaciones sub-

determinado 144

4.6.13 Sistema de ecuaciones

sobredeterminado 144

Problemas propuestos 145



Capítulo 5

Interpolación y ajuste
de curvas 153
5.1 Aproximación e interpolación 153
5.2 Interpolación 154



5.2.1
5.2.2

Interpolación de Lagrange 158
Formulación de Newton con
diferencias divididas 160
Formulación de Newton para puntos
igualmente espaciados 162
Interpolación iterativa 165



5.2.3


5.3

5.4

5.2.4
Elección de los puntos de
interpolación 167
Ajuste por el método de mínimos
cuadrados 170
5.4.1



5.5.1

Ajuste discreto de mínimos
cuadrados normalizado 172
5.5 Transformada rápida de Fourier 176
Transformadas de Fourier y de

Laplace 176
Tratamiento numérico de la
transformada de Fourier 176
5.5.3 Errores por truncamiento 178
5.5.4 Errores por discretización 180
5.5.5

5.5.2

Transformada discreta de Fourier
como método de ajuste 181



5.6 Polinomios ortogonales 183

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5.7



5.6.1 Relación de ortogonalidad 183
5.6.2 Relación de recurrencia 184
5.6.3 Ortogonalidad discreta 184
5.6.4 Raíces de los polinomios 185
5.6.5

Polinomios ortogonales
importantes 186

Polinomios de Tchebyshev y aproximación
minimax 186
5.7.1 La propiedad minimax 187
5.7.2 Economización de polinomios 187
5.7.3

Expansión en series de
Tchebyshev 188

5.7.4 Ortogonalidad discreta 189
5.7.5

Evaluación de las series de
Tchebyshev 189
Otras propiedades de las series de
Tchebyshev 190

5.7.6

5.8 Comparación de métodos 194
5.9 Programas desarrollados en Matlab 195



5.9.1 Matriz de Vandermonde 195
Interpolación de Lagrange 195
5.9.2
5.9.3
Método de diferencias divididas de
Newton 196
Método de mínimos
cuadrados 197
Ajuste utilizando la transformada
discreta de Fourier 198

5.9.4

5.9.5

5.9.6 Ajuste de Tchebyshev 199
5.9.7

Interpolador de Lagrange que utiliza
los puntos de Tchebyshev 200



Problemas propuestos 202

Capítulo 6

derivación e integración
numérica 207
6.1 Introducción 207
6.2 Derivación numérica 207
6.3 Integración numérica 214
6.4 Fórmulas de Newton-Cotes 215


6.4.1

Fórmulas cerradas de Newton-
Cotes 216
Fórmulas abiertas de Newton-
Cotes 221



6.4.2

6.4.3 Fórmulas compuestas 223


6.5 Cuadratura de Gauss 226



6.5.1 Polinomios ortogonales 226
6.5.2

Pesos en la cuadratura de
Gauss 227
Cuadratura de Gauss Legendre 228

6.5.3


6.6 Integración de Romberg 233

Contenido

VII

6.7 Comparación de métodos 235
6.8 Programas desarrollados en Matlab 235


6.8.1

Regla rectangular por la
izquierda 236
Regla rectangular por la
derecha 236

6.8.2

6.8.3 Regla trapezoidal 237
6.8.4
6.8.5
6.8.6

Integración de Simpson 1/3 238
Integración de Simpson 3/8 238
Regla de integración de punto
medio 239
Cuadratura de Gauss-Legendre de
dos puntos 240
Cuadratura de Gauss-Legendre de
tres puntos 241
Integración de Romberg 241

6.8.7

6.8.8

6.8.9


Problemas propuestos 242



Capítulo 7

Solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias 247
7.1 Introducción 247
7.2

Métodos de un paso para la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias 250
7.2.1

Serie de Taylor y método de la serie
de Taylor 250



7.3



7.4



7.2.2 Métodos de Euler 253
7.2.3 Métodos Runge-Kutta 258
Consistencia, convergencia y estabilidad de
los métodos de un paso 263
7.3.1 Consistencia 264
7.3.2 Convergencia 264
7.3.3 Estabilidad 267
7.3.4

Error de redondeo y métodos de un
paso 267

7.3.5 Control del error 267
Métodos multipaso basados en integración
numérica 269
7.4.1 Métodos explícitos 270
7.4.2 Métodos implícitos 273
7.4.3
7.4.4

Iteración con el corrector 275
Estimación del error de
truncamiento 276

7.5 Métodos multipaso lineales 278
7.6

Consistencia, convergencia y estabilidad de
los métodos multipaso 281
7.6.1 Consistencia 281
7.6.2 Convergencia 283
7.6.3 Estabilidad 283



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7.7

Solución numérica de sistemas de
ecuaciones diferenciales ordinarias 285
7.7.1 Método de Euler 287
7.7.2 Método de Euler trapezoida