PDF de programación - Método de Newton-Raphson (método de la tangente)

Método de Newton–Raphson

(método de la tangente)

1. Idea del método de Newton. Las aproximaciones a la raíz de la función f se
construyen sucesivamente (paso a paso), empezando con una aproximación inicial x0.
En el paso n, para construir xn, se usa la aproximaciónes anterior xn−1. Se considera la
tangente a la gráfica de f en el punto (xn−1, f(xn−1)). El punto xn se calcula como el punto
de la intersección de esta recta tangente con el eje de abscisas.

2. Intersección de la tangente con el eje de abscisas. Escriba la ecuación de la
tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)). Calcule la abscisa de la intersección de
esta tangente con el eje de abscisas.

3. Diferencias entre el método de bisección y el método de Newton-Raphson.

“suavidad” de f:
puntos iniciales:
suposiciones:

método de bisección

f ∈ C

extremos del intervalo [a, b]

f(a)f(b) < 0

en cada paso usamos: dos puntos anteriores, an−1 y bn−1
se calculan valores de:
orden de convergencia:

f
1

método de Newton-Raphson

f ∈ C2, |f| ≥ α > 0
una aproximación x0
x0 está cerca de la raíz
el punto anterior, xn−1

f y f

2

4. Algoritmo del método de Newton.

Entrada: f, x0, xtol, ytol, pmax.
Variables locales: fderiv, xprev, x, p.
fderiv := la derivada de f;
xprev := x0;
x := xprev - f(xprev) / fderiv(xprev);
p := 1;
Mientras (|xprev - x0| >= xtol) y (|f(x)| >= ytol) y (p <= pmax):

xprev := x;
x := xprev - f(xprev) / fderiv(xprev);
p := p + 1;
Salida: x, p.

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5. Ejemplo bueno. Aplicar el método de Newton a la función f(x) = cos(x) con x0 = 1.0.

6. Ejemplo malo. Hacer dos pasos del método de Newton para f(x) = x3 − 2x + 2,
x0 = 0.

7. Ejemplo interesante: algoritmo babilónico para calcular la raíz cuadrada.
Escribir la función sqrtbabel[c_, xtol_] que aplica el algoritmo de Newton a la función
f(x) = x2 − c usando la aproximación inicial x0 = c (se supone que c > 0). En este caso
la expresión para f es muy simple.

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