PDF de programación - Control de sistemas dinámicos complejos

CONTROL DE
SISTEMAS DINÁMICOS
COMPLEJOS

Del control
de sistemas
lineales a la
auto-
organización
emergente

Marco Aurelio Alzate Monroy
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, Colombia

ideasInvestigación, Desarrollo yAplicaciones en SeñalesSISTEMAS DINÁMICOS

SISTEMAS DINÁMICOS

SISTEMAS DINÁMICOS

SISTEMAS DINÁMICOS

SISTEMAS DINÁMICOS

Posición, x(t)
Velocidad, v(t)
Aceleración, a(t)

SISTEMAS DINÁMICOS

Temperatura, T(t)
Volumen, V(t)
Presión, P(t)
Tasa de Reactantes, r(t)

SISTEMAS DINÁMICOS

Estado
de
ánimo,
A(t)

Temperatura, T(t)
Volumen, V(t)
Presión, P(t)
Tasa de Reactantes, r(t)

SISTEMAS DINÁMICOS

Relaciones
de Amistad,
Ra(t)

Estado
de
ánimo,
A(t)

Temperatura, T(t)
Volumen, V(t)
Presión, P(t)
Tasa de Reactantes, r(t)

SISTEMAS DINÁMICOS

Relaciones
de Amistad,
Ra(t)

Estado
de
ánimo,
A(t)

Tensiones
sociales

SISTEMAS DINÁMICOS

Relaciones
de Amistad,
Ra(t)

Estado
de
ánimo,
A(t)

Tensiones
sociales

Intercambios
Comerciales

SISTEMAS DINÁMICOS

Sistemas dinámicos simples

SISTEMAS DINÁMICOS

Sistemas dinámicos simples

Sistemas dinámicos complejos

SISTEMAS DINÁMICOS

Sistemas dinámicos simples

Sistemas dinámicos complejos

¿Cuáles son los componentes del sistema?
¿Qué variables describen esos componentes?

¿Qué reglas de interacción rigen la evolución de esas variables?

¿Qué parámetros describen esas reglas de interacción?

SISTEMAS DINÁMICOS

Sistemas dinámicos simples

Sistemas dinámicos complejos

¿Cuáles son los componentes del sistema?
¿Qué variables describen esos componentes?

¿Qué reglas de interacción rigen la evolución de esas variables?

¿Qué parámetros describen esas reglas de interacción?

MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

u(t)

x0



.
x(t)

ft

x(t)

gt

y(t)

ttttttttdtd),(),()()0( ,),(),()(0uxgyxxuxfxMODELO DE VARIABLES DE ESTADO

MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

1. Modelo unificado para
sistemas lineales y no
lineales

2. El concepto de variable de

estado tiene una firme
motivación física

MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

1. Modelo unificado para
sistemas lineales y no
lineales

2. El concepto de variable de

estado tiene una firme
motivación física

El estado del sistema es un conjunto de cantidades {x1(t), x2(t), …, xn(t)}
que, si se conocen en el instante t=t0, se pueden determinar para tt0
si se especifican las entradas {u1(t), u2(t), …, um(t)} para tt0.

MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

1. Modelo unificado para
sistemas lineales y no
lineales

2. El concepto de variable de

estado tiene una firme
motivación física

El estado del sistema es un conjunto de cantidades {x1(t), x2(t), …, xn(t)}
que, si se conocen en el instante t=t0, se pueden determinar para tt0
si se especifican las entradas {u1(t), u2(t), …, um(t)} para tt0.

()()()nmqtttxuyMODELO DE VARIABLES DE ESTADO

Forma general de un
sistema no-lineal y
variante en el tiempo

MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

Forma general de un
sistema no-lineal y
variante en el tiempo

Forma general de un
sistema no-lineal e
invariante en el tiempo

MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

Forma general de un
sistema lineal y
variante en el tiempo

Forma general de un
sistema lineal e
invariante en el tiempo

MODELO DE VARIABLES DE ESTADO

Forma general de
un sistema no-
lineal y variante
en el tiempo

[1][],[],[][],[],kfkkkkgkkkxxuyxuMODELO DE VARIABLES DE ESTADO

Forma general de
un sistema no-
lineal y variante
en el tiempo

Forma general de
un sistema no-
lineal e invariante
en el tiempo

[1][],[],[][],[],kfkkkkgkkkxxuyxu[1][],[][][],[]kfkkkgkkxxuyxuMODELO DE VARIABLES DE ESTADO

Forma general de
un sistema no-
lineal y variante
en el tiempo

Forma general de
un sistema no-
lineal e invariante
en el tiempo

Forma general de
un sistema lineal y
variante en el
tiempo

[1][],[],[][],[],kfkkkkgkkkxxuyxu[1][],[][][],[]kfkkkgkkxxuyxu[1][][][][][][][][][]kkkkkkkkkkxAxBuyCxDuMODELO DE VARIABLES DE ESTADO

Forma general de
un sistema no-
lineal y variante
en el tiempo

Forma general de
un sistema no-
lineal e invariante
en el tiempo

Forma general de
un sistema lineal y
variante en el
tiempo

Forma general de
un sistema lineal e
invariante en el
tiempo

[1][],[],[][],[],kfkkkkgkkkxxuyxu[1][],[][][],[]kfkkkgkkxxuyxu[1][][][][][][][][][]kkkkkkkkkkxAxBuyCxDu[1][][][][][]kkkkkkxAxBuyCxDu¿QUÉ PUEDE HACER UN SISTEMA DINÁMICO?

• Tal vez llegar a un punto

de equilibrio estable



• Tal vez alcanzar un ciclo

límite



• O tal vez cosas más

extrañas

¿QUÉ PUEDE HACER UN SISTEMA DINÁMICO?

• Tal vez llegar a un punto

de equilibrio estable



• Tal vez alcanzar un ciclo

límite



• O tal vez cosas más

extrañas

¿QUÉ PUEDE HACER UN SISTEMA DINÁMICO?

• Tal vez llegar a un punto

de equilibrio estable



• Tal vez alcanzar un ciclo

límite



• O tal vez cosas más

extrañas

SISTEMA DINÁMICO LINEAL

F(t)

r v(t)

v(t)

SISTEMA DINÁMICO LINEAL

F(t)

v(t)

r v(t)

Newton:

)(1)()(tFtvtvdtdMrrSISTEMA DINÁMICO LINEAL

F(t)

r v(t)

Newton:

v(t)

F(t)

v(t)

)(1)()(tFtvtvdtdMrrSISTEMA DINÁMICO LINEAL

F(t)

r v(t)

Newton:

v(t)

F(t)

v(t)

Hay un único punto de equilibrio
(el origen, F(t) – rv(t) = 0), al cual
tiende exponencialmente desde
donde se encuentre.

)(1)()(tFtvtvdtdMrrSISTEMA DINÁMICO LINEAL

)()()()0( ),()()(0ttttttdtdDuCxyxxBuAxxSISTEMA DINÁMICO LINEAL

)()()()0( ),()()(0ttttttdtdDuCxyxxBuAxxSISTEMA DINÁMICO LINEAL

Eigenvalores reales positivos

Eigenvalores reales negativos

Eigenvalores imaginarios

Eigenvalores complejos con parte real positiva

Eigenvalores complejos con parte real negativa

)()()()0( ),()()(0ttttttdtdDuCxyxxBuAxxSISTEMA DINÁMICO LINEAL

Eigenvalores reales positivos

Eigenvalores reales negativos

Eigenvalores imaginarios

Eigenvalores complejos con parte real negativa

Eigenvalores complejos con parte real positiva

)()()()0( ),()()(0ttttttdtdDuCxyxxBuAxxSISTEMA DINÁMICO LINEAL

¡Siempre tiene una solución!

SISTEMA DINÁMICO LINEAL

¡Siempre tiene una solución!

: Matriz de transición de estado

000()(,)()(,)()()tttttttdxφxφBu0(,)ttφ00(,)()(,)dtttttdtφAφSISTEMA DINÁMICO LINEAL

¡Siempre tiene una solución!

: Matriz de transición de estado

Si además es invariante:

000()(,)()(,)()()tttttttdxφxφBu0(,)ttφ11()(0)(s)tsxIAxBU0()(0)()ttttteeedAAAxxBu0!kktktekAA00(,)()(,)dtttttdtφAφSISTEMA DINÁMICO LINEAL

¡Siempre tiene una solución!

: Matriz de transición de estado

Si además es invariante:

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))(sin()()(22tzrtutzdtdhSISTEMA DINÁMICO NO-LINEAL

))(sin()()(22tzrtutzdtdhSISTEMA DINÁMICO NO-LINEAL

- Más de un punto de equilibrio

- Ciclos límite

- Bifurcaciones

- Sincronización

- Sensibilidad a condiciones iniciales

- etc.

))(sin()()(22tzrtutzdtdhSISTEMA DINÁMICO NO-LINEAL

- Más de un punto de equilibrio

- Ciclos límite

- Bifurcaciones

- Sincronización

- Sensibilidad a condiciones iniciales

- etc.

))(sin()()(22tzrtutzdtdhCONTROLABILIDAD

Consideramos un sistema

Para

, con estado inicial

()(),(),dttttdtxfxu0tt00()txxCONTROLABILIDAD

Consideramos un sistema

Para

, con estado inicial

Si hay un tiempo finito t1t0 y una señal de control {u(t), t0tt1}
que lleve de algún estado inicial x(t0)=x0 al origen en el instante
t1, x(t1)=0, decimos que el estado x0 es controlable en el
instante t0.
Si todos los posibles estados iniciales x0 son controlables en
todos los instantes iniciales t0, decimos que el sistema es
controlable.

()(),(),dttttdtxfxu0tt00()txxCONTROLABILIDAD

Consideramos un sistema

Para

, con estado inicial

Si hay un tiempo finito t1t0 y una señal de control {u(t), t0tt1}
que lleve de algún estado inicial x(t0)=x0 al origen en el instante
t1, x(t1)=0, decimos que el estado x0 es controlable en el
instante t0.
Si todos los posibles estados iniciales x0 son controlables en
todos los instantes iniciales t0, decimos que el sistema es
controlable.

Kalman demostró que un sistema lineal invariante en el tiempo
es controlable si y sólo si tiene rango n.

()(),(),dttttdtxfxu0tt00()txx21nEBABABABOBSERVABILIDAD

Consideramos un sistema

Para

, con estado inicial

()(),,()0 dttttdtxfxu0tt00()txx()(),tttygxOBSERVABILIDAD

Consideramos un sistema

Para

, con estado inicial

Si observando la salida {y(t) , t0tt1} podemos determinar el
estado x(t0)=x0, decimos que el estado x0, es observable en el
instante t0.
Si todos los estados son observables en cualquier instante,
decimos que el sistema es observable.

()(),,()0 dttttdtxfxu0tt00()txx()(),tttygxOBSERVABILIDAD

Consideramos un sistema

Para

, con estado inicial

Si observando la salida {y(t) , t0tt1} podemos determinar el
estado x(t0)=x0, decimos que el estado x0, es observable en el
instante t0.
Si todos los estados son observables en cualquier instante,
decimos que el sistema es observable.

Un sistema lineal invariante en el tiempo es observable si y sólo
si tiene rango n.

()(),,()0 dttttdtxfxu0tt00()txx()(),tttygx2(1)TTTTTnTTGCACACACPROBLEMA BÁSICO DEL CONTROL DE

SISTEMAS DINÁMICOS

 O b j et i vo : I n f l u en c i ar e l

c o m p o r t am i e nto d e u n s i s t em a
d i n á m i c o ya s e a p a r a m a n t en e r l a s
s a l i d as e n u n v a l o r c o n s t a n t e
( r