PDF de programación - Programación: Solución de sistemas de ecuaciones lineales usando la eliminación de Gauss con pivotes diagonales

Programaci´on:

Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales usando

la eliminaci´on de Gauss con pivotes diagonales

Objetivos. Programar el m´etodo de eliminaci´on de Gauss sin pivoteo (esto es, con pivotes
diagonales). Programar la soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales.

Requisitos. Operaciones con matrices, programaci´on de operaciones elementales, susti-
tuci´on hacia atr´as.

Eliminaci´on de Gauss con pivotes diagonales

1. Algoritmo Reduce1 (pseudoc´odigo).

Entrada: matriz A.
Variables locales: B, m, n, k, i, j;
m := n´umero de renglones de A;
n := n´umero de columnas de A;
B := una copia de A;
Para p := 1, ..., m - 1:

// Comentario: usamos B[p, p] como pivote
Para i := p + 1, ..., m:

mu := - B[i, p] / B[p, p];
B[i, p] := 0;
Para j := p + 1, ..., n:

B[i, j] := B[i, j] + mu * B[p, j];

Salida: B.

2. Eliminaci´on de Gauss con pivotes diagonales. Escriba una funci´on Reduce1 de
un argumento matricial que reduzca la matriz dada.

Entrada: una matriz rectangular A de tama˜no m × n, m ≤ n.

Salida: la matriz triangular superior B que se obtiene de la matriz A al aplicar la
eliminaci´on de Gauss.

Se supone que a la matriz A se puede aplicar el m´etodo de eliminaci´on de Gauss con
pivotes diagonales, es decir, para cada p en el paso n´umero p la entrada (p, p) es no nula.

3. Comprobaci´on. Aplique la funci´on Reduce1 a la siguiente matriz:

 2 −1 −2 3 1

1 −2 1 5
−2 −2 −1 4 3

4

 .

A =

Respusta correcta:

 2 −1 −2

3
0 −1

0
0

3 1
2 −5 3
2 7

 .

Programaci´on: eliminaci´on de Gauss con pivotes diagonales, p´agina 1 de 3

Juntar datos en una matriz aumentada.
Sacar datos de una matriz aumentada

Ejemplo: primer m´etodo para juntar una matriz y un vector en la matriz au-
mentada. Construir una matriz nula y llenar sus partes usando subconjuntos de ´ındices:

a = {{1, 2}, {3, 4}}; b = {-1, -2};

aext = Table[0, {2}, {3}]

aext[[All, Range[1, 2]]] = a; aext[[All, 3]] = b; MatrixForm[aext]

Ejemplo: segundo m´etodo para juntar una matriz y un vector en la matriz
aumentada. Usar la funci´on MapThread:

a = {{1, 2}, {3, 4}}; b = {-1, -2};

aext = MapThread[Append, {a, b}]

Para comprender que hace MapThread, se recomenda probar el siguiente ejemplo:

Plus[5, 3]

MapThread[Plus, {{100, 200, 300}, {4, 5, 6}}]

Ejemplo: primer m´etodo para sacar de la matriz aumentada la matriz de
coeficientes y el vector de constantes. Usar subconjuntos de ´ındices:

aext = {{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}}

aext[[All, Range[1, 3]]]

aext[[All, 4]]

Ejemplo: segundo m´etodo para sacar de la matriz aumentada la matriz de
coeficientes y el vector de constantes. Aplicar las funciones Most y Last a cada fila:

aext = {{1, 2, 3, 4}, {5, 6, 7, 8}}

Map[Most, aext]

Map[Last, aext]

Programaci´on: eliminaci´on de Gauss con pivotes diagonales, p´agina 2 de 3

Soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales
usando la eliminaci´on de Gauss con pivotes diagonales

4. Problema: LinSolve1. Escriba una funci´on LinSolve1[A , b ] que resuelva el sis-
tema de ecuaciones lineales Ax = b usando las funciones Reduce1 y SolveUT.

5. Haga la comprobaci´on de la funci´on LinSolve1 con

A =

4

b =

 2 −1 −2

1 −2
−2 −2 −1

 ,

 .

 7

9
−4

La respuesta correcta es (4, −3, 2).

Comprobaci´on del m´etodo de Gauss con datos aleatorios

6. RandVector. Escriba una funci´on RandVector[n , vmin , vmax ] que construya
un vector aleatorio de longitud n con componentes reales pertenecientes al intervalo
[vmin, vmax].

7. RandMatrix. Escriba una funci´on RandMatrix[m , n , vmin , vmax ] que constru-
ya una matriz aleatoria de tama˜no m × n con entradas reales pertenecientes al intervalo
[vmin, vmax].

8. Comprobaci´on con matrices peque˜nas. Aplique la funci´on LinSolve1 a una matriz
aleatoria y un vector aleatorios de tama˜no peque˜no:

a = RandMatrix(3, 3, -5, 5); b = RandMatrix(3, -5, 5)

x = LinSolve1(a, b)

a . x

Norm[a . x - b]

9. Comprobaci´on con matrices grandes. Aplique la funci´on LinSolve1 a una matriz
aleatoria y un vector aleatorio de tama˜no grande (por ejemplo, n = 1000). Para estimar
el error, calcule Norm[a . x - b].

Programaci´on: eliminaci´on de Gauss con pivotes diagonales, p´agina 3 de 3