PDF de programación - Análisis amortizado de consumo de recursos

Análisis amortizado de consumo de recursos

M. Hofmann

S. Jost

J. Hoffmann K. Aehlig

Análisis y Transformación de Programas

Máster en Investigación en Informática, 2012

Hofmann et al.

Análisis amortizado de consumo de recursos

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M. HofmannS. JostPOPL'03B. CampbellESOP'09M. Hofmannet al.ESOP'06S. Jostet al.FM'09J. HoffmannM. HofmannESOP'10J. HoffmannM. HofmannAPLAS'10J. HoffmannK. AehligM. HofmannPOPL'11S. Jostet al.POPL'10M. HofmannS. JostPOPL'03B. CampbellESOP'09M. Hofmannet al.ESOP'06S. Jostet al.FM'09J. HoffmannM. HofmannESOP'10J. HoffmannM. HofmannAPLAS'10J. HoffmannK. AehligM. HofmannPOPL'11S. Jostet al.POPL'10Introducción

• Objetivo: Dado un programa escrito en un lenguaje funcional,

determinar una cota superior de la cantidad de recursos necesarios
(celdas de memoria) para su ejecución.

• Esta cota vendrá dada en forma de función sobre los argumentos.

◦ POPL’03: Funcion lineal.
◦ ESOP’10: Función polinómica sobre una variable.
◦ POPL’11: Función polinómica sobre varias variables.

• Se utilizan técnicas de análisis amortizado.

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Análisis amortizado

• Técnica introducida formalmente por Robert Tarjan (1985):

Amortized Computational Complexity.

• Es un método de analisis de algoritmos que considera el coste

global (en el caso peor) una secuencia de operaciones.
◦ Más preciso que considerar la suma de los costes individuales en el
◦ El hecho de que algunas operaciones sean demasiado costosas viene

caso peor.

compensado por tener operaciones menos costosas, pero más
frecuentes.

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Análisis amortizado
Método del potencial

• Existe una función potencial φ(s) asociada a cada estado posible s

del programa.

s C s0

• Operaciones menos costosas acumulan potencial en el estado.
• El potencial se usa para pagar operaciones costosas.

Camortizado = C +φ(s0)− φ(s)

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Lenguaje RAML
Resource-Aware ML

Sintaxis

e

::= () | True | False | n | x | x1 ⊕ x2
f (x1, . . . ,xn) | letx1 = e1 in e2
if x thenet else ef

| nil | (x1 :: x2) | (x1,x2)
|
|
| match x with (x1,x2) → e
| match x withnil → e1
(x :: xx ) → e2

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Lenguaje RAML
Resource-Aware ML

Sintaxis

e

::= () | True | False | n | x | x1 ⊕ x2
f (x1, . . . ,xn) | letx1 = e1 in e2
if x thenet else ef

| nil | (x1 :: x2) | (x1,x2)
|
|
| match x with (x1,x2) → e
| match x withnil → e1
(x :: xx ) → e2

Sistema de tipos básico

A ::= unit | bool | int | L(A) | (A,A)
F ::= (A,A, . . . ,A) → A

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Lenguaje RAML
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → let x1 = append(xx ,ys)

in (x :: x1)

append : (L(A),L(A)) → L(A)

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123546789Lenguaje RAML
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → let x1 = append(xx ,ys)

in (x :: x1)

append : (L(A),L(A)) → L(A)

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123546789Lenguaje RAML
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → let x1 = append(xx ,ys)

in (x :: x1)

append : (L(A),L(A)) → L(A)

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1235467891234Sistema de tipos
Análisis amortizado

• Asociar un potencial a cada elemento de la estructura de datos.
• El potencial total de la estructura de datos es lineal con respecto

su tamaño.

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...x1x2x3xnaaaa….........Sistema de tipos
Análisis amortizado

• Asociar un potencial a cada elemento de la estructura de datos.
• El potencial total de la estructura de datos es lineal con respecto

su tamaño.

• El potencial se refleja en el tipo de la estructura de datos.

xs : L(a)(int)

=⇒

φ(xs) = a∗|xs|

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...x1x2x3xnaaaa….........Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

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1235467891111Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

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Análisis amortizado de consumo de recursos

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1235467891111Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

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12354678941111Coste construcción1Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

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12354678912341111Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

append : (L(1)(A),L(0)(A)) → L(0)(A)

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12354678912341111Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

Hofmann et al.

Análisis amortizado de consumo de recursos

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1235467893333Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

Hofmann et al.

Análisis amortizado de consumo de recursos

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12354678943333Coste construcción12Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

Hofmann et al.

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123546789123433332222Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

append : (L(3)(A),L(2)(A)) → L(2)(A)

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12354678912343333222222222Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

Hofmann et al.

Análisis amortizado de consumo de recursos

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9/54

1235467893333Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

Hofmann et al.

Análisis amortizado de consumo de recursos

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12354678943333Coste construcción12Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

append : (L(3)(A),L(0)(A)) → L(0)(A)

Hofmann et al.

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12354678912343333Sistema de tipos
Ejemplo: concatenar listas

Ejemplo

append(xs,ys) = match xs with
nil → ys
(x :: xx ) → x :: append(xx ,ys)

append : (L(q)(A),L(p)(A)) → L(p)(A)

q ≥ p +1

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12354678912343333Sistema de tipos
Ejemplo: función attach

Ejemplo

attach(y ,xs) = match xs with
nil → nil
(x :: xx ) → (y ,x ) :: attach(y ,xx )

Hofmann et al.

Análisis amortizado de consumo de recursos

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12342222Sistema de tipos
Ejemplo: función attach

Ejemplo

attach(y ,xs) = match xs with
nil → nil
(x :: xx ) → (y ,x ) :: attach(y ,xx )

Hofmann et al.

Análisis amortizado de consumo de recursos

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1234(7,4)222211Construcción tuplaConstrucción celda de listaSistema de tipos
Ejemplo: función attach

Ejemplo

attach(y ,xs) = match xs with
nil → nil
(x :: xx ) → (y ,x ) :: attach(y ,xx )

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1234(7,4)2222(7,3)(7,2)(7,1)Sistema de tipos
Ejemplo: función attach

Ejemplo

attach(y ,xs) = match xs with
nil → nil
(x :: xx ) → (y ,x ) :: attach(y ,xx )

attach : (int,L(2)(int)) −→ L(0)(int,int)

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1234(7,4)2222(7,3)(7,2)(7,1)Sistema de tipos
Ejemplo: función attach

Ejemplo

attach(y ,xs) = match xs with
nil → nil
(x :: xx ) → (y ,x ) :: attach(y ,xx )

attach : (int,L(q)(int)) −→ L(p)(int,int)

q ≥ p +2

Hofmann et al.

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1234(7,4)2222(7,3)(7,2)(7,1)Sistema de tipos
Ejemplo: Inserción ordenada

Ejemplo

insert : (int,L(int)) → L(int)

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1234111151Sistema de tipos
Ejemplo: Inserción ordenada

Ejemplo

insert : (int,L(int)) → L(int)

Hofmann et al.

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123411115112345Sistema de tipos
Ejemplo: Inserción ordenada

Ejemplo

insert : (int,L(int)) → L(int)

insert : (int,L(1)(int))

1/0−→ L(0)(int)

Hofmann et al.

Análisis amortizado de consumo de recursos

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123411115112345Sistema de tipos
Ejemplo: Inserción ordenada

Ejemplo

insert : (int,L(int)) → L(int)

insert : (int,L(q)(int))

p/p0−→ L(q0)(int)

q ≥ q0 +1,p ≥ p0 +1

Hofmann et al.

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123411115112345Sistema de tipos
¿Para qué sirve el potencial?

• Supongamos una función f de tipo:

f : (L(a)(int),L(b)(int))

q/q0−→ L(c)(int)

• Para evaluar una llamada f (xs,ys), es suficiente disponer en

memoria de a∗|xs| +b ∗|ys| +q celdas.

• Al final de la evaluación, dispondremos de c ∗|zs| +q0 celdas libres,

donde zs denota el resultado de evaluar f (xs,ys).

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Sistema de tipos
Reglas de tipo

• Sintaxis de tipos:

A ::= unit | bool | int | L(n)(A) | (A,A)
F ::= (A,A, . . . ,A)

q/q’−→ A

• Juicios de la forma:

Σ; Γ ‘ e : A (q/q0)

◦ Σ asocia nombres de función f con signaturas de tipo F.
◦ Γ asocia variables en ámbito c