PDF de programación - Programación: producto diádico

Programaci´on: producto di´adico

Objetivos. Programar una funci´on que calcule el producto di´adico de dos vectores dados.

Requisitos. Programaci´on de funciones, ciclos for, entradas de vectores.

1. Definici´on del producto di´adico. Dados dos vectores a ∈ Rm, b ∈ Rn, su producto
di´adico a ⊗ b se define de la siguiente manera:

(cid:104)

(cid:105)m,n

a ⊗ b =

ajbk

.

j,k=1

En otras palabras, a ⊗ b es una matriz m × n, cuya entrada (j, k) es

(a ⊗ b)j,k = ajbk.

En ingl´es su usan las palabras outer product, dyadic product, tensorial product.
2. Ejemplo. Escribir el producto di´adico a ⊗ b de los vectores

Mostrar que el resultado coincide con el producto matricial

a =

a2
a3

 ,
 a1
 a1

a2
a3

ab(cid:62) =

(cid:20) b1

b2

(cid:21)

.

(cid:3) .

b2

b =

(cid:2) b1

3. Problema: producto di´adico. En alg´un lenguaje de programaci´on escribir una fun-
ci´on que calcule la matriz ab(cid:62), donde a ∈ Rm y b ∈ Rn son dos vectores dados.

Entrada: a ∈ Rm, b ∈ Rn.
Salida: la matriz ab(cid:62).

Soluci´on en el lenguaje Matlab (guardar en el archivo outerproduct.m):

function [r] = outerproduct(a, b),

m = length(a);
n = length(b);
r = zeros(m, n);
for j = 1 : m,

for k = 1 : n,

r(j, k) = a(j) * b(k);

end

end

end

Programaci´on: producto di´adico, p´agina 1 de 2

4. An´alisis de complejidad. Calcular el n´umero de operaciones de multiplicaci´on en el
algoritmo anterior, suponiendo que m = n. La respuesta es un polinomio de la variable n.

5. Pruebas con vectores peque˜nos. En alg´un lenguaje de programaci´on escribir un
programa que llame a la funci´on del ejercicio anterior, aplic´andola a los siguientes datos:

 ,

 3−4

1

(cid:20) 2

5

(cid:21)

.

a =

b =

Soluci´on en el lenguaje de Matlab (guardar en el archivo testouterproduct1.m):

function [] = testouterproduct1(),

a = [3; -4; 1]; b = [2; 5];
display(outerproduct(a, b));
display(a * b’);

end

6. Pruebas con vectores grandes aleatorios. En alg´un lenguaje de programaci´on
escribir un programa que genere vectores de tama˜nos grandes: n = 10, n = 102, n = 103,
aplique a estos vectores la funci´on del Ejercicio 3 y mida el tiempo de ejecuci´on. Soluci´on
en el lenguaje de Matlab (guardar en el archivo testouterproduct2.m):

function [] = testouterproduct2(),

for n = [512, 1024, 2048],

display(n);
a = rand(n, 1);
b = rand(n, 1);
t1 = cputime();
p = outerproduct(a, b);
t2 = cputime();
display(t2 - t1);

end

end

¿C´omo se cambia el tiempo de ejecuci´on al multiplicar n por 2?

Programaci´on: producto di´adico, p´agina 2 de 2