PDF de programación - Introduccion al calculo simbolico con Maxima

Introducción al cálculo simbólico con

Maxima

José A. Alonso Jiménez

Grupo de Lógica Computacional
Dpto. de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
Universidad de Sevilla
Sevilla, 1 de Julio de 2010 (versión de 18 de septiembre de 2010)

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2

Índice general

1. Introducción a Maxima
1.1. Ejercicios resueltos

.

.

.

7
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1. Primeros pasos con Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Maxima como calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3. Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. Cálculos algebraicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.6. Gráficas de funciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.7. Obtención de la ayuda para una función . . . . . . . . . . . . . . . 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Ejercicio 1: Cálculo aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Ejercicio 2: Cálculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3. Ejercicio 3: Cálculo con precisión determinada . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4. Ejercicio 4: Raices y factorización de un polinomio . . . . . . . . . . 22
1.2.5. Ejercicio 5: Cálculo con números complejos . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.6. Ejercicio 6: Gráficos para conjeturar soluciones y su cálculo . . . . . 24
1.2.7. Ejercicio 7: Solución de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2. Ejercicios propuestos .

.

.

2.1. Ejercicios resueltos

2. Funciones de una variable
.

27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Definición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2. Límites y asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3. Derivación .
2.1.4. Funciones definidas a trozos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.5. Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Ejercicios propuestos con soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1. Ejercicio 1: Funciones definidas por partes
. . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Ejercicio 2: Estudio de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3. Ejercicio 3: Desarrollos trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . 38

. .

3. Aritmética

3.1. Ejercicios resueltos

41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1. Divisores y división entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

.

.

.

3

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL

3.1.2. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo . . . . . . . . . 42
3.1.3. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.4. Programación básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2. Ejercicios propuestos con soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1. Ejercicio 1: Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2. Ejercicio 2: Estudio de grandes factoriales . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.3. Ejercicio 3: Guión para el primo 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.4. Ejercicio 4: Guión para el número de primos menores que 100000 . 48
3.2.5. Ejercicio 5: Estudio del primo 9592–ésimo . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Sucesiones y recursión
4.1. Ejercicios resueltos

.

.

.

51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1. Formas de generar una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2. Recurrencias .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.3. Representación gráfica de uns sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.4. Sucesiones definidas por sumatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.5. Productos y factoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.6. Sucesiones del tipo un+1 = f (un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1. Ejercicio 1: Sucesión de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.2. Ejercicio 2: Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.3. Ejercicio 3: Recurrencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.4. Ejercicio 4: Recurrencia a partir de funciones . . . . . . . . . . . . . 67

.

4.2. Ejercicios propuestos .

5. Programación

5.1. Ejercicios resueltos

.

.

71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1. Funciones y procedimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.2. Estructura condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1.3.
Iteración con el bucle para (for) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Iteración con el bucle mientras (while) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.1. Ejercicio 1: Tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.2. Ejercicio 2: Signos del trinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.3. Ejercicio 3: Simulación aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.4. Ejercicio 4: Conjetura de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

.

5.2. Ejercicios propuestos .

6. Matrices con Maxima

6.1. Ejercicios resueltos

.

.

.

81
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.1. Definición de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.2. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1.3. Diagonalización de matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . 84
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1. Ejercicio 1: Cálculo con matrices con 1 parámetro . . . . . . . . . . 87

6.2. Ejercicios propuestos .

4

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL

6.2.2. Ejercicio 2: Inversas de matrices triangulares . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.3. Ejercicio 3: Matrices que conmutan con una dada . . . . . . . . . . 91

7. Gráficos y animaciones
7.1. Ejercicios resueltos

93
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1.1. Gráficos en el plano con plot2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1.2. Gráficos con draw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.1.3. Animaciones gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

.

.

.

8. Misceláneas de ejercicios

8.1. Ejercicios propuestos .

121
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1.1. Suma de los enteros menores de 1000 que son múltiplos de 3 ó 5 . 121
8.1.2. Suma de los términos pares de la sucesión de Fibonacci menores

que 4.000.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1.3. Mayor factor primo de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1.4. Mayor capicúa producto de números de n cifras . . . . . . . . . . . 123
8.1.5. Menor número divisible por los números de un intervalo . . . . . . 125
8.1.6. Número de cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.1.7.
Imagen inversa de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.1.8. Cuadrado de la suma menos la suma de los cuadrados . . . . . . . 127
8.1.9. Terna pitagórica de suma dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.10. Suma de primos menores que uno dado . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.1.11. Menor número triangular con más de n divisores . . . . . . . . . . 129
8.1.12. Número de puntos dentro del círculo de radio n . . . . . . . . . . . 130
8.2. Ejercicios de exámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.2.1. Primo que ocupa el lugar n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.2.2. Suma de las cifras de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2.3. Primos con suma par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2.4. Aproximación de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2.5. Número de ceros del factorial de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.1. Números felices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.3. Más ejercicios .

.

.

.

.

.

A. Resumen de Maxima

.
.
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.

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.
.

A.1. Hoja de cálculo .
A.2. Operadores . .
. .
A.3. Constantes . .
. .
A.4. Números reales .

143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
.
A.4.1. Funciones usuales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.4.2. Valores aproximados . . . . . . . . .