PDF de programación - Teoría de autómatas para investigadores en XML

Teoría de
autómatas

para

investigadores

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RCC

Autómatas de
Glushkov

Autómatas
probabilísticos

Autómatas de
árboles

Teoría de autómatas para investigadores en

XML

Rafael C. Carrasco Jiménez

Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos

Universidad de Alicante

Febrero 2006

4 de febrero de 2008

Autómatas finitos de cadenas

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autómatas

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Autómatas de
Glushkov

Autómatas
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Autómatas de
árboles

Un DFA (deterministic finite-state automaton) es una
representación (grafo) de un procedimiento computable que
requiere memoria finita.

Autómatas finitos de cadenas

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Autómatas
probabilísticos

Autómatas de
árboles

Un DFA (deterministic finite-state automaton) es una
representación (grafo) de un procedimiento computable que
requiere memoria finita.
Ejemplo: determinar la paridad de una cadena binaria.
Contraejemplo: determinar si la entrada es palíndroma.

Expresiones regulares

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Las expresiones regulares definen lenguajes usando símbolos,
paréntesis y operadores de concatenación, elección y repetición.
Comentarios de C:

[*]
[/]
[^*/]

A
B
C
Comment {B}{A}{B}*({A}*{C}{B}*)*{A}*{A}{B}

Expresiones regulares

La validación de cadenas con respecto a expresiones regulares
puede hacerse mediante DFA.

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Autómata de Glushkov de una expresión regular

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Para cada expresión regular r , se construye el marcado Er
sustituyendo los símbolos por posiciones.
Por ejemplo
r = BAB∗(A∗CB∗)A∗AB ⇒ Er = 123∗(4∗56∗)∗7∗89.
Cada posición será un estado del autómata de Glushkov.
Para construir las transiciones se usan 4 funciones: empty, first,
last, follow.

Autómata de Glushkov de una expresión regular

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empty(E ) es cierto si la subexpresión contiene la cadena vacía:

empty(n) = FALSE

empty(F|G ) = empty(F ) ∨ empty(G )
empty(F , G ) = empty(F ) ∧ empty(G )
empty(F∗) = TRUE
empty(F +) = empty(F )
empty(F ?) = TRUE

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Autómata de Glushkov de una expresión regular

first(E ) es el conjunto de símbolos por los que puede empezar
una cadena de E :



first(n) = {n}

first(F|G ) = first(F ) ∪ first(G )
first(F ) ∪ first(G )
first(F , G ) =
first(F )
first(F∗) = first(F )
first(F +) = first(F )
first(F ?) = first(F )

if empty(F )
otherwise

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Autómata de Glushkov de una expresión regular

last(E ) es el conjunto de símbolos por los que puede terminar
una cadena de E :

last(n) = {n}



last(F|G ) = last(F ) ∪ last(G )
last(F ) ∪ last(G )
last(G )

last(F , G ) =
last(F∗) = last(F )
last(F +) = last(F )
last(F ?) = last(F )

if empty(G )
otherwise

Autómata de Glushkov de una expresión regular

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follow(E ) es el conjunto de pares de símbolos que pueden
aparecer consecutivos en E :

follow(n) = ∅

follow(F|G ) = follow(F ) ∪ follow(G )
follow(F , G ) = follow(F ) ∪ follow(G ) ∪ last(F ) × first(G )
follow(F∗) = follow(F ) ∪ last(F ) × first(F )
follow(F +) = follow(F ) ∪ last(F ) × first(F )
follow(F ?) = follow(F )

Autómata de Glushkov de una expresión regular

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El autómata de Glushkov es (N, Σ, δ, 0, F ), con:

Q = {0, 1, ..., N}
δ(0, a) = {n ∈ first(Er ) : Φr (n) = a}
δ(n, a) = {m ∈ Q : (n, m) ∈ follow(Er ) ∧ Φr (m) = a}

{0} ∪ last(Er )

F =

last(Er )

if empty(Er )
otherwise

siendo N el número de símbolos de r y Φ el homomorfismo que
genera r a partir de Er .

Autómata de Glushkov de una expresión regular

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Construye el autómata de Glushkov para BAB∗(A∗CB∗)A∗AB

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Si el autómata de Glushkov es determinista, r es 1-inambigua
y, por tanto, válida en el estándar SGML.

Aunque todo autómata finito tienen un equivalente
determinista, no todas las lenguajes regulares admi-
ten una expresión regular con autómata de Glushkov
determinista.

Medidas probabilísticas

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En un autómata probabilístico, cada transición (y cada estado
de aceptación) tiene una probabilidad asociada.
Algunas distancias

Cuadrática:
Kullback-Leibler:

x (pAx) − pB (x))2.

x pA(x) ∗ log pA(x)
pB (x) .

La distancia cuadrática es más suave, pero menos sensible a los
valores pequeños.

Medidas probabilísticas

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La probabilidad de coemisión C (A, B) =

permite calcular la distancia cuadrática:

x pA(x)pB (x)

d2(A, B) = C (A, A) + C (B, B) − 2C (A, B)

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C (A, A) =

cij p(i, a)p(j, a)



i∈Q

a



j∈Q



Los coeficientes cij son el número esperado de “pasos” por i y j.

cij = (i == 0)(j == 0) +

ckl p(k, a)p(l, a)

a

k:δ(k,a)=i

l:δ(l,a)=j

Demostración en: Carrasco 1997.

Árboles

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Autómatas de
árboles

Dado un alfabeto Σ = {σ1, . . . , σ|Σ|}:

Todos los símbolos de Σ son árboles de TΣ.
Dado σ ∈ Σ y m > 0 árboles t1, . . . , tm, σ(t1 ··· tm) es un
árbol de TΣ.

Lenguajes de árboles

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Autómatas de
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A cualquier subconjunto de árboles se le llama lenguaje. En
particular, el lenguaje sub(t) de subárboles de t es

if t = σ ∈ Σ
if t = σ(t1 . . . tm) ∈ TΣ − Σ

k=1 sub(tk )

{σ}
{t} ∪m

sub(t) =

XHTML es un lenguaje de árboles sobre el alfabeto:
{html, head, body, p, a, ul, ol, li, th, tr, td...}

Autómatas de árboles

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Autómatas de
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Un autómata finito de árboles es A = (Q, Σ, ∆, F ),

Q = {q1, . . . , q|Q|} es un conjuntoestados;
Σ = {σ1, . . . , σ|Σ|} es el alfabeto;
F ⊆ Q es un subconjunto de estados de aceptación,
∆ ⊂ ∪∞

m=0Σ × Q m+1 es un conjunto finito de transiciones.

Autómatas de árboles

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Autómatas de
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Los autómatas de árboles pueden ser

indeterministas :-|
deterministas ascendentes :-)
deterministas descendente :-(

Debemos valorar capacidad expresiva y complejidad de análisis.

Autómatas de árboles

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Autómatas de
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Evaluador de expresiones lógicas:

∆ = {(F , 0), (T , 1), (∧, 1+, 1), (∧, (0|1)∗0(0|1)∗, 0)

(∨, 0+, 0), (∨, (0|1)∗1(0|1)∗, 1)}

∨

∧

F

∨

T

F

T

∨

T

1

1

0

F

1

F

F

1

0

0

1

1

0

0

0

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Autómatas de
árboles

Autómatas de árboles

Evaluador de XPath /a[a]/b//a (indeterminista).

∆ ={ (a,Q∗,/a), (b,Q∗,/b), (a, Q∗,//a),

(b,Q∗//aQ∗,/b//a),

(a,Q∗/aQ∗/b//aQ∗,/a[a]/b//a),... }

a

a

b

a

b
/a[a]/b//a

/a

/b//a

//a

/b

Autómatas ascendentes árboles

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Autómatas de
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Las siguientes afirmaciones sobre un lenguaje de árboles L son
equivalentes:

L es reconocible por un autómata de árboles ascendente
indeterminista.

L es reconocible por un autómata de árboles ascendente
determinista.

L es reconocible por un autómata de árboles descendente
indeterminista.

En cambio, los autómatas deterministas descendentes (como
quiera que se definan) son menos potentes.

Autómatas ascendentes de árboles

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Cada transición (σ, i1, ..., im, q) de ∆ tiene argumento
(σ, i1, ..., im) y salida q. El autómata es determinista si no hay
más de una salida por cada argumento:



if q ∈ Q such that (σ, i1, ..., im, q) ∈ ∆

q
⊥ if no such q exists

δm(σ, i1, ..., im) =

⊥ es el estado de absorción

Autómatas ascendentes de árboles

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Autómatas de
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El resultado de A en t es A(t):



A(t) =

δ0(σ)
δm(σ, A(t1), . . . , A(tm))

if t = σ