PDF de programación - Tema1 - La eficiencia de los algoritmos

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Tema 1. La eficiencia de los algoritmos

TEMA 1

La eficiencia de los algoritmos

PROGRAMACIÓN Y ESTRUCTURAS DE

DATOS

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Tema 1. La eficiencia de los algoritmos

La eficiencia de los algoritmos

1. Noción de complejidad

Complejidad temporal, tamaño del problema y paso

2. Cotas de complejidad

Cota superior, inferior y promedio

3. Notación asintótica

Ο, Ω, Θ

4. Obtención de cotas de complejidad

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Tema 1. La eficiencia de los algoritmos

1. Noción de complejidad

DEFINICIÓN

Cálculo de complejidad: determinación de dos parámetros o
funciones de coste:

Complejidad espacial : Cantidad de recursos espaciales ( de
almacén) que un algoritmo consume o necesita para su
ejecución
Complejidad temporal : Cantidad de tiempo que un algoritmo
necesita para su ejecución

Posibilidad de hacer

Valoraciones

el algoritmo es: “bueno”, “el mejor”, “prohibitivo”

Comparaciones

el algoritmo A es mejor que el B

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1. Noción de complejidad

COMPLEJIDAD TEMPORAL

Factores de complejidad temporal:

Externos

La máquina en la que se va a ejecutar
El compilador: variables y modelo de memoria
La experiencia del programador

Internos

El número de instrucciones asociadas al algoritmo

Complejidad temporal : Tiempo(A) = C + f (T)

C es la contribución de los factores externos
(constante)
f(T) es una función que depende de T (talla o
tamaño del problema)

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1. Noción de complejidad

COMPLEJIDAD TEMPORAL

Talla o tamaño de un problema:

Valor o conjunto de valores asociados a la entrada del
problema que representa una medida de su tamaño
respecto de otras entradas posibles

Paso de programa:

Secuencia de operaciones con contenido semántico cuyo
coste es independiente de la talla del problema
Unidad de medida de la complejidad de un algoritmo

Expresión de la complejidad temporal:

Función que expresa el número de pasos de programa que
un algoritmo necesita ejecutar para cualquier entrada
posible (para cualquier talla posible)
No se tienen en cuenta los factores externos

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1. Noción de complejidad

COMPLEJIDAD TEMPORAL. Ejemplos

int ejemplo1 (int n)
{

n+ = n;
return n;

f (ejemplo1) = 1 pasos

}

}

int ejemplo2 (int n)
{

int i;
for (i=0; i ≤ 2000; i++)
n+ = n;
return n;

f (ejemplo2) = 1 pasos

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3

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1. Noción de complejidad

COMPLEJIDAD TEMPORAL. Ejemplos

f (ejemplo3) = 1 + 1 · (n + 1) pasos

int ejemplo3 (int n)
{

int i, j;
j = 2;
for (i=0; i ≤ 2000; i++)
for (i=0; i ≤ n; i++)
{

j=j*j;

j = j + j;
j = j - 2;

}
return j;

}

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1. Noción de complejidad

COMPLEJIDAD TEMPORAL. Ejemplos

f (ejemplo4) = 1 + 1 · n · (n + 1) pasos

int ejemplo4 (int n)
{

int i, j,k;
k = 1;
for (i=0; i ≤ n; i++)

for (j=1; j ≤ n; j++)

k = k + k;

return k;

int ejemplo5 (int n)
{

int i, j,k;
k = 1;
for (i=0; i ≤ n; i++)

for (j=i; j ≤ n; j++)

k = k + k;

return k;

}

}

f (ejemplo5) = 1 + Σi=0..n(Σj=i..n 1) pasos

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1. Noción de complejidad

CONCLUSIONES

Sólo nos ocuparemos de la complejidad temporal
Normalmente son objetivos contrapuestos

(complejidad temporal <--> complejidad espacial)

Cálculo de la complejidad temporal:

a priori: contando pasos
a posteriori: generando instancias para distintos valores y
cronometrando el tiempo

Se trata de obtener la función. Las unidades de medida (paso, sg,
msg, ...) no son relevantes (todo se traduce a un cambio de escala)
El nº de pasos que se ejecutan siempre es función del tamaño (o talla)
del problema

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2. Cotas de complejidad

INTRODUCCIÓN

Dado un vector X de n números naturales y dado un número
natural z:

encontrar el índice i : Xi = z
Calcular el número de pasos que realiza

funcion BUSCAR (var X:vector[N]; z: N): devuelve N
var i:natural fvar;
comienzo
i:=1;
mientras (i ≤⏐X⏐) ∧ (Xi≠z) hacer
i:=i+1;
fmientras
si i= ⏐X⏐+1 entonces devuelve 0 (*No encontrado*)

si_no devuelve i

fin

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2. Cotas de complejidad

EL PROBLEMA

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2. Cotas de complejidad
LA SOLUCIÓN: cotas de complejidad

Cuando aparecen diferentes casos para una misma talla
genérica n, se introducen las cotas de complejidad:

Caso peor: cota superior del algoritmo → Cs(n)
Caso mejor: cota inferior del algoritmo→ Ci(n)
Término medio: cota promedio → Cm(n)

Todas son funciones del tamaño del problema (n)
La cota promedio es difícil de evaluar a priori

Es necesario conocer la distribución de la probabilidad de
entrada
No es la media de la inferior y de la superior (ni están todas
ni tienen la misma proporción)

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2. Cotas de complejidad
EJERCICIO: cotas superior e inferior

funcion BUSCAR (var X:vector[N]; z: N): devuelve N
var i:natural fvar;
comienzo
i:=1;
mientras (i ≤⏐X⏐) ∧ (Xi≠z) hacer
i:=i+1;
fmientras
si i= ⏐X⏐+1 entonces devuelve 0 (*No encontrado*)

si_no devuelve i

fin

Talla del problema: nº de elementos de X: n
¿Existe caso mejor y caso peor?

Caso mejor: el elemento está el primero: X1=z → ci(n) = 1
Caso peor: el elemento no está: ∀i 1≤ i ≤ |X|, Xi ≠ z → cs(n) = n+1

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2. Cotas de complejidad
EJERCICIO: cotas superior e inferior

Complejidad función Buscar

18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

Cota Superior

Ci(n)=1
Cs(n)=n+1

¿Cota promedio?

1

5

10

15

Cota Inferior

14

7

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2. Cotas de complejidad

CONCLUSIONES

La cota promedio no la calcularemos. Sólo se hablará de complejidad
por término medio cuando la cota superior y la inferior coinciden
El estudio de la complejidad se hace para tamaños grandes del
problema por varios motivos:

Los resultados para tamaños pequeños o no son fiables o
proporcionan poca información sobre el algoritmo
Es lógico invertir tiempo en el desarrollo de un buen algoritmo
sólo si se prevé que éste realizará un gran volumen de
operaciones

A la complejidad que resulta de tamaños grandes de problema se le
denomina complejidad asintótica y la notación utilizada es la notación
asintótica

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3. Notación asintótica

INTRODUCCIÓN

Notación matemática utilizada para representar la
complejidad espacial y temporal cuando n → ∞
Se definen tres tipos de notación:

Notación O (big-omicron) ⇒ caso peor
Notación Ω (omega) ⇒ caso mejor
Notación Θ (big-theta) ⇒ caso promedio

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3. Notación asintótica
Teorema de la escala de complejidad

Ο ⊂ Ο

(1)

n
(lg lg )

⊂ Ο

n
(lg )

⊂ Ο

(lg

a

1
>

n

)

⊂ Ο

(

n

)

⊂

O n
( )

⊂

⊂ Ο

n
n
( lg )

⊂ Ο

(

n

2

)

⊂ ⊂ Ο

L

a

>

2

(

n

)

⊂ Ο

(2 )
n

⊂ Ο

n
( !)

⊂ Ο

(

n

n

)

f(n) + g(n) + t(n) ∈ O(Max(f(n), g(n), t(n)))
Ejemplos:

– n + 1 pertenece a O(n)
– n2 + log n pertenece a O(n2)
– n3 + 2n + nlogn pertenece a O(2n)

Válido para Notación Ω y Notación Θ

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3. Notación asintótica
NOTACIÓN O: escala de complejidad

Complejidad

n3
2n

n = 32
3 seg.
5 días

n = 64
26 seg.

58⋅106 años

Tiempos de respuesta para dos valores de
la talla y complejidades n3 y 2n.
(paso = 0’1 mseg.)

Queda clara la necesidad del cálculo de complejidad
función POT_2 (n: natural): natural

Coste lineal

1 seg.

Coste exponencial

miles de años

18

9

opción

fopción

ffunción

n = 1: devuelve 2
n > 1: devuelve 2 * POT_2(n-1)

función POT_2 (n: natural): natural

n = 1: devuelve 2
n > 1: devuelve POT_2(n-1)+POT_2(n-1)

opción

fopción

ffunción

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4. Obtención de cotas de complejidad

INTRODUCCIÓN

Etapas para obtener las cotas de complejidad:
1. Determinación de la talla o tamaño (de la instancia ) del

problema

2. Determinación del caso mejor y peor: instancias para las que

el algoritmo tarda más o menos

No siempre existe mejor y peor caso ya que existen algoritmos que se
comportan de igual forma para cualquier instancia del mismo tamaño

3. Obtención de las cotas para cada caso. Métodos:

cuenta de pasos
relaciones de recurrencia (funciones recursivas)

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4. Obtención de cotas de complejidad

INTRODUCCIÓN

función FACTORIAL (n:natural): natural

La talla es n y no existe caso mejor ni peor

función BUSCA (v: vector[natural]; x:natural)

La talla es n=|v|
caso mejor: instancias donde x está en v[1]
caso peor: instancias donde x no está en v

Se trata de delimitar con una región
el tiempo que tarda un algoritmo
en ejecutarse

o
p
m
e
i
t

caso peor

promedio

caso mejor

n=64

tamaño

20

10

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4. Obtención de cotas de complejidad

Ejemplos

Cálculo del máximo de un vector

funcion MÁXIMO (var v : vector[n]; n:entero) : entero
var i, max : entero fvar
comienzo

max:=v[1]
para i:=2 hasta n hacer
fpara
devuelve max

si v[i]>max entonces max:=v[i] fsi

fin

determinar la talla del problema: n=tamaño del vector

mejor caso

c

i

1
= +

peor caso

c

s

1
= +

n

∑

i=2

1 1 (
= +

n

− + = ∈Ω

2 1)

n

n

∑

i=2

2 1 (
= +

n

− +

2 1)·2 2

=

n

n
( )

⎫
⎪
⎪∈Θ⎬
⎪
n
1
( )
− ∈Ο ⎪⎭

n
( )

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4. Obtención de cotas de complejidad

Ejemplos

Búsqueda de un elemento en un vector o