PDF de programación - El estudio de funciones con calculadora gráfica

EL ESTUDIO DE FUNCIONES
CON CALCULADORA GRÁFICA



Autores: Julio Rodrigo Martínez
Floreal Gracia Alcaine
J. Fernando Juan García
Alfred Mollá Pino
Onofre Monzó del Olmo
José Antonio Mora Sánchez
Pascual Pérez Cuenca
Tomás Queralt Llopis
Salvador Caballero Rubio







Título: El estudio de funciones con calculadora gráfica

Autores: Julio Rodrigo Martínez
Floreal Gracia Alcaine
J. Fernando Juan García
Alfred Mollá Pino
Onofre Monzó del Olmo
José Antonio Mora Sánchez
Pascual Pérez Cuenca
Tomás Queralt Llopis
Salvador Caballero Rubio

T3 Europe es una marca registrada de Texas Instruments.


Maquetación: Víctor González Ibáñez

Edita: SEMCV
Imprime: Copistería Format S.L.
ISBN: 609-1948-X
Depósito Legal: CS-270-2004





En recuerdo de Miguel, el amigo que nos falta.


ÍNDICE


1. Introducción ................................................................................ pág. 1

2. Resolución de ecuaciones ......................................................... pág. 11

3. Estudio de familias de funciones .............................................. pág. 21

4. Estudio de las propiedades de una función ............................. pág. 33


4.1. Dominio, cortes con los ejes, monotonía,

asíntotas y extremos de una función ........................ pág. 35


4.2. Recta tangente y función inversa ............................. pág. 43

4.3. Límites y continuidad ................................................ pág. 45

4.4. La derivada en el estudio gráfico de

una función .................................................................. pág. 48


4.5. Aproximación lineal de funciones derivables ......... pág. 51

4.6. Calculadora gráfica e integral definida .................... pág. 54



5. Funciones definidas a trozos .................................................... pág. 63

6. Programación lineal ................................................................... pág. 69


6.1. Inecuaciones en la calculadora gráfica ................ .... pág. 71

6.2. Programación lineal .................................................... pág. 75



7. Problemas de optimización de funciones ................................ pág. 79

8. Estudio de funciones en coordenadas paramétricas y

polares ........................................................................................ pág. 91


9. Modelos funcionales .................................................................. pág. 103


9.1. Modelos matemáticos y regresión. El zoom de

la cámara fotográfica .................................................. pág. 105


9.2. Funciones en la construcción de figuras ................. pág. 114

9.3. Funciones y CBL ........................................................ pág. 117

9.4. Funciones y CBR ....................................................... pág. 139


10. Bibliografía ................................................................................ pág. 145







INTRODUCCIÓN

De a

Gráfica

Tabular

Analítica

Verbal

Gráfica

Tabular

Reelaboración de
la gráfica
Representación
cartesiana de
puntos

Analítica

Representación
gráfica

Verbal

Construcción de un
esbozo

Estimación de
valores de las
variables
Reelaboración de
la tabla

Cálculo de valores
particulares de la
fórmula
Comparación de
valores de las
variables

Elección de una
familia funcional
verosímil
Realización de un
ajuste
Manipulación
algebraica o
analítica de la
fórmula
Elaboración de un
modelo funcional

Interpretación de la
gráfica

Interpretación y
análisis de datos

Identificación y
análisis de la
fórmula

Discusión y
reflexión



El estudio de funciones con calculadora gráfica



1. INTRODUCCIÓN


El concepto de función constituye una idea unificadora de gran
importancia en las matemáticas. Las funciones, que son correspondencias
especiales entre los elementos de dos conjuntos, están presentes a lo largo de
todo el currículo. En aritmética las funciones aparecen como operaciones
numéricas, donde dos números se corresponden con uno sólo, como en el
caso de la suma de un par de números; en álgebra las funciones son
relaciones entre variables que representan números; en geometría las
funciones ponen en relación conjuntos de puntos con sus imágenes en
movimientos tales como reflexiones, traslaciones y giros; por último, en los
fenómenos aleatorios relacionan sucesos con la probabilidad de que ocurran.


El concepto de función es importante también porque constituye una
representación matemática de muchas situaciones de entrada–salida que se
encuentran en el mundo real, incluyendo las que han surgido últimamente
como resultado de los avances de la tecnología.


En la enseñanza secundaria en España, el estudio de las funciones se
ha venido centrando en la descripción de las características analíticas de la
función a partir de la fórmula, con unos procedimientos bastante reglados, y
con el fin último de llegar a la representación de la misma. El aprendizaje se
sitúa demasiado pronto en el nivel de los conceptos de límite, derivada,
integral, etc., en
los estudiantes suficientes
experiencias para que estos conocimientos matemáticos sean comprendidos y
relacionados con muchos otros: numéricos, geométricos, gráficos y
algebraicos.


lugar de proporcionar a

En una primera aproximación podemos considerar a la calculadora
gráfica como un instrumento que automatiza tareas a las que hasta ahora se
dedicaba gran parte del tiempo de las clases de matemáticas, como es el caso
de la construcción de una gráfica a partir de una expresión algebraica. Pero
esta automatización no se consigue sólo con apretar la tecla s, también
requiere de la intervención del estudiante que ha de comunicar a la máquina
cuál es la zona en la que suceden las cosas que interesan o si hay que realizar
alguna modificación en la expresión algebraica para analizar un aspecto nuevo.
Desde este punto de vista, el trabajo con calculadoras requiere de nuevas
destrezas y conocimientos.


Según las investigaciones de Janvier C. (1978), el concepto de función
se materializa a través de cuatro representaciones distintas que, idealmente,
contienen la misma información y que, sin embargo, ponen de manifiesto
aspectos y propiedades de las funciones no necesariamente idénticos.

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1. Introducción

Considerando la idea de función como expresión de una dependencia entre
variables, las cuatro representaciones que señala Janvier son:


tiene

Gráfica:
relación esencialmente con potencialidades
conceptualizadoras de la visualización y por tanto con el mundo de
las formas en la geometría y la topología.


Tabular: pone de manifiesto los aspectos cuantitativos o numéricos.

Analítica: es la codificación simbólica que nos permite trabajar en
álgebra.


Verbal: de carácter cualitativo, la más próxima a las destrezas más
básicas. Pero, desde otro punto de vista, la más compleja ya que
articula todas las demás y actúa con ellas como clave interpretativa
o piedra angular que las sostiene y da sentido.



Las calculadoras gráficas, en esta forma de ver el aprendizaje de las
funciones, ayudan a los estudiantes en la compresión de estas formas de
representación y facilita el paso de unas a otras, es decir, traducir es
entender.


Las cuatro posibles representaciones de las funciones se valen de
códigos diferentes para transcribir la relación existente entre dos variables
causalmente dependientes. Janvier asocia el aprendizaje de las funciones al
desarrollo de la capacidad, la habilidad y la destreza de recodificar la
información de unas representaciones funcionales a otras.


Los cuatro sistemas de codificación posibles generan las siguientes

eventuales traducciones:

De a

Gráfica

Tabular

Analítica

Verbal

Gráfica

Tabular

Reelaboración de
la gráfica
Representación
cartesiana de
puntos

Analítica

Representación
gráfica

Verbal

Construcción de un
esbozo

Estimación de
valores de las
variables
Reelaboración de
la tabla

Cálculo de valores
particulares de la
fórmula
Comparación de
valores de las
variables

Elección de una
familia funcional
verosímil
Realización de un
ajuste
Manipulación
algebraica o
analítica de la
fórmula
Elaboración de un
modelo funcional

Interpretación de la
gráfica

Interpretación y
análisis de datos

Identificación y
análisis de la
fórmula

Discusión y
reflexión



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El estudio de funciones con calculadora gráfica

García (1994), en su artículo Funciones de la calculadora gráfica, hace un
análisis de cuáles de esas conexiones entre las representaciones funcionales
pueden ser automatizadas por las calculadoras gráficas, y ésas son las que
tienen un carácter más mecánico. En su artículo señala las marcadas en el
cuadro anterior con negrita y nos hace observar que son precisamente las doce
casillas restantes las que reflejan las componentes que menos atención han
recibido hasta el momento por parte de las matemáticas escolares.


Las calculadoras gráficas pueden ayudar a estudiar mejor algunas
funciones, además de
fácilmente pueden ser ejecutadas
automáticamente. Esto nos servirá para plantear la forma en que puede
cambiar la e