PDF de programación - Programación: Ejemplos para el método de punto fijo

Programación: Ejemplos para el método de punto fijo

Objetivos. Preparar ejemplos para el método de punto fijo. Aprender a construir gráficas
de funciones y aplicarlas para el análisis de su comportamiento.

Requisitos. Teoremas sobre la convergencia al punto fijo, teorema sobre la divergencia
del punto fijo, teorema del punto intermedio, teorema del punto medio, saber dibujar una
gráfica.

1. Con ayuda del teorema del valor intermedio muestre que la función g(x) = x3 − x − 1
tiene al menos una raíz en el intervalo [1, 2].

g(1) ≈

g(2) ≈

2. Muestre que la función g(x) = ex + x − 2 tiene al menos una raíz en el intervalo [0, 0.8].

g(0) ≈

g(0.8) ≈

3. Pasar de la búsqueda de las raíces al cálculo de los puntos fijos. Vamos a
calcular las raíces de estas funciones usando el método de iteración de punto fijo:
√
x = x3 − 1 o x = 3

la ecuación x3 − x − 1 se puede escribir en forma

x + 1;

la ecuación ex + x − 2 se puede escribir en forma

x = 2 − ex

o x = ln(2 − x).

4. ¿Cómo dibujar juntas dos gráficas en Wolfram Mathematica?
Recordemos cómo dibujar juntas las gráficas de dos funciones en un intervalo:

Plot[{Cos[x], x}, {x, 0, 2}]

Por cierto, esta gráfica muestra que la función cos en el intervalo [0, 2] tiene un punto fijo

p ≈ 0.7.

5. ¿Cómo dibujar juntas dos gráficas en MATLAB o en GNU Octave?

f = @(x) x .^ 2;

g = @(x) cos(x);

x = 0 : 0.01 : 2;

plot(x, f(x), x, g(x));

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Ejemplos buenos

6. Investigación de la función g1 (1 %).
Se considera la función g1 en el intervalo [a1, b1]:

√
g1(x) = 3

x + 1,

[a1, b1] = [1, 2].

Dibuje juntas la gráfica de y = g1(x) con la gráfica de y = x en el intervalo [a1, b1].
Encuentre el valor aproximado del punto fijo como la abscisa de la intersección de
las gráficas y = g1(x), y = x:

p1 ≈

Usando la gráfica de g1 determine el mínimo y el máximo de g1 en el intervalo
[a1, b1]:

g1(x) ≈

min

x∈[a1,b1]

,

g1(x) ≈

max
x∈[a1,b1]

Basándose en el resultado del inciso anterior calcule la imagen del intervalo [a1, b1]
bajo la función g1:

g1([a1, b1]) ≈

,



Dibuje la gráfica de la función g
cuentre el máximo y el mínimo de g
máximo y el mínimo de |g

1 en el intervalo [a1, b1]. Usando esta gráfica en-
1 en el intervalo [a1, b1], además encuentre el

1

min

|:
1(x) ≈
g
x∈[a1,b1]
1(x)| ≈
|g

min

x∈[a1,b1]

1(x) ≈
g
max
x∈[a1,b1]
1(x)| ≈
|g

max
x∈[a1,b1]

Determine si g1 es contractiva en [a1, b1] o no.

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7. Investigación de la función g2 (0.5 %). Haga lo mismo que en el ejercicio anterior
para la función g2 en el intervalo [a2, b2]:

g2(x) = ln(2 − x),

[a2, b2] = [0, 0.8].

g2(x) ≈

min

x∈[a2,b2]
g2([a2, b2]) ≈
2(x) ≈
g

x∈[a2,b2]
2(x)| ≈
|g

min

min

x∈[a2,b2]

g2(x) ≈

max
x∈[a2,b2]

p2 ≈
2(x) ≈
g

max
x∈[a2,b2]
2(x)| ≈
|g

max
x∈[a2,b2]

8. Investigación de la función g3 (0.5 %).

g3(x) = x −

x3 − x − 1

3x2 − 1

,

[a3, b3] = [1.2, 2].

g3(x) ≈

min

x∈[a3,b3]
g3([a3, b3]) ≈
3(x) ≈
g

x∈[a3,b3]
3(x)| ≈
|g

min

min

x∈[a3,b3]

g3(x) ≈

max
x∈[a3,b3]

p3 ≈
3(x) ≈
g

max
x∈[a3,b3]
3(x)| ≈
|g

max
x∈[a3,b3]

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Ejemplos malos

9. Función g4 (0.5 %).

g4(x) = x3 − 1,

[a4, b4] = [1, 2].

g4(x) ≈

min

x∈[a4,b4]
g4([a4, b4]) ≈
4(x) ≈
g

x∈[a4,b4]
4(x)| ≈
|g

min

min

x∈[a4,b4]

g4(x) ≈

max
x∈[a4,b4]

p4 ≈
4(x) ≈
g

max
x∈[a4,b4]
4(x)| ≈
|g

max
x∈[a4,b4]

4(p) ≈
g

Explique por qué el método del punto fijo no se puede aplicar a la función g4 en el intervalo
[a4, b4].

10. Función g5 (0.5 %).

g5(x) = 2 − ex,

[a5, b5] = [0, 0.8].

g5(x) ≈

min

x∈[a5,b5]
g5([a5, b5]) ≈
5(x) ≈
g

x∈[a5,b5]
5(x)| ≈
|g

min

min

x∈[a5,b5]

g5(x) ≈

max
x∈[a5,b5]

p5 ≈
5(x) ≈
g

max
x∈[a5,b5]
5(x)| ≈
|g

max
x∈[a5,b5]

5(p) ≈
g

Explique por qué el método del punto fijo no se puede aplicar a la función g5 en el intervalo
[a5, b5].

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