PDF de programación - Funciones_vectores y matrices_01 - Capitulo 2º

FUNCIONES DE VECTORES Y

CAPITULO 2º

MATRICES_01

Ing. Diego Alejandro Patiño G. M.Sc, Ph.D.

Funciones de Vectores y Matrices

Los operadores lineales son funciones en un espacio vectorial, que
transforman un vector desde un espacio a otro espacio:

A

n

ℜ→ℜ:

n

o posiblemente de un espacio hacia si mismo.
los Operadores
Dentro de este último grupo se encuentran
Funcionales Lineales, los cuales transforman vectores dentro del
campo de los números reales.

Se estudiarán tres tipos especiales de operadores:
• El Funcional Multilinear
• La Forma Cuadrática
• Funciones de Matrices

2

Funciones de Vectores y Matrices
Un Operador Funcional Lineal (OFL) es una función lineal de un
vector
Un OFL f(x) ∈ℜtransforma un vector x ∈ X al conjunto de los
números reales tales que

f(cx) = cf(x)

f(x+y) = f(x) + f(y)

donde c es un escalar en el campo de X y y ∈X.
Si el espacio vectorial X, de dimensión n, tiene definida una base {ej},
entonces

⎞
=⎟
⎠

n

∑

i

1
=

fx
i

(
e

i

)

f

( )
x

=

f

⎛
⎜
⎝

n

∑

i

1
=

x
i

e

i

Se puede determinar el efecto de un funcional lineal sobre un vector
determinando primero su efecto sobre los vectores de la base.

3

Funciones de Vectores y Matrices

Para determinar el efecto de un funcional lineal sobre la base

n

e ∑

=

j

i

1
=

b
ij

,ˆ
e
i

:ˆ
e

i

Nueva
Base


o en forma matricial
e

[
e
1

2

e

n

]

=

[
ˆ
e
1

ˆ
e

2

]Be
ˆ

n

L

L

respecto a la nueva base:

f

( )
x

=

n

∑

j

1
=

j fx

e
(

)

j

4

Funciones de Vectores y Matrices

Respecto a la nueva base
⎛
⎜
⎝
n

( ) ∑
x

fx
j

=

1
=

f

n

n

j

n

∑

i

1
=

b
ij

ˆe

i

⎞
⎟
⎠

)

(
ˆ
e

i

)

j

x

∑ ∑
∑ ∑

i
1
=
n

1
=
n

j
⎛
⎜⎜
⎝

j

1
=

fb
ij

b
ij

x

j

(
ˆe
⎞
⎟⎟
⎠

i

f

f

( )
x

=

f

( )
x

=

f

( )
x

=

i

1
=
n

∑

i

1
=

ˆ
x

i

f

(
ˆ
e

i

)

5

Funciones de Vectores y Matrices

donde

ˆ
x

i

=

n

∑

j

1
=

b
ij

x

j

son los componentes del funcional en la nueva base, o en forma
matricial

x =ˆ

Bx

Que corresponde a la misma formula para el cambio de base de
vectores en un espacio lineal.

6

Funcionales Multilineales

Es un funcional que es lineal en varios vectores

diferentes:

A(x1,x2,…,xk).

la mas común de las formas es la bilineal.

Una forma bilineal B es un funcional que actúa
sobre dos vectores del espacio X, de tal forma
que si x, y, z ∈ X y αes un escalar en el campo
de X:

7

Forma Bilineal

B
B

+

(
(
)
x
zx,
zy,
B
=
(
(
)
yzx,
zx,
B
=
+
(
)
yx
B
B
,
=
αα
(
)
yx,
B
B
=
α
α

(
)
zy,
B
+
(
)
yx,
B
+
)
(
yx,
(
)yx,

)
)

Si la última condición se reemplaza por
(
)yx,

(
)
α =

B
α

B

yx,

se dice que B está en la Forma Sesquilineal

8

Forma Bilineal

En un espacio lineal las formas bilineales se especifican por medio de
un conjunto de n2 componentes, porque cada vector x, y se puede
expandir en máximo n componentes independientes.
Estos n2 números se pueden escribir como una matriz de n × n donde
el (i,j)–esimo elemento de la matriz es
i e,eB=ijb

(

)j
y la forma bilineal se puede escribir como
x
=

(
yx,
La forma B es simétrica si

[
T b
ij

]
y

B

T

By

)

=

x

B

(
yx,

)

=

B

(
)xy,

y es hermitiana si

B

(
yx,

)

=

B

(
)xy,

9

Forma Bilineal

Cuando cambia la base del espacio vectorial la matriz que describe la
forma bilineal también cambiara. Sea B la matriz que describe la
forma bilineal respecto a la base original {ei} y sea la forma respecto
a la nueva base {ej}, si la relación entre bases se conoce

Bˆ

e

i

=

n

∑

k

1
=

β
ki

ˆe

k

Sustituyendo en la expresión para el elemento (i,j)–esimo de la
representación matricial de B:

b
ij

=

B

(
e,e
i

j

)

=→

b
ij

B

n

∑

l

1
=

β
li

,ˆ
e
l

n

∑

1
=

β

ˆ
e
mmi

⎞
⎟
⎠

⎛
⎜
⎝
)

n

n

b
ij

=

∑ ∑

ββ
mi

li

l

1
=

m

1
=

B

(
ˆ
ˆ
e,el

m

=→

b
ij

m
n

n

∑ ∑

ββ

li

ˆ
b
ijmi

l

1
=

m

1
=

10

Forma Bilineal

Si los coeficientes βij se ordenan en una matriz β, entonces en general
tenemos que

βBβB

=

T ˆ

La anterior expresión tiene la forma de transformación similar
previamente definida.
Si la matriz de cambio de base es ortonormal (βT = β-1), la
transformación en la forma bilineal es igual a la transformación
similar.

11

Forma Bilineal

La forma bilineal escrita como
(
yx,
también se puede escribir como
(
yx,

B

B

)

x
T=

By

x
,=

B

y

)

Formas bilineales y productos internos son equivalentes

Pero no es válido para espacios de funciones de dimensión infinita.

12

Forma Bilineal

Por ejemplo para el espacio de las funciones de valores reales definidas
en el intervalo una forma bilineal válida:

]1,0∈t

[

(
f
tB
(

),

g

t
)(

)

=

f

t
)(

×

g

t
)(

dt

1

∫

0

Es un productos interno si B(x,x) > 0 para x ≠ 0 y B(x,x) = 0 para x =
0.
Si se considera el campo de los complejos el producto interno tiene la
forma sesquilineal:

(
f
tB
(

),

g

t
)(

)

=

1

∫

0

f

t
)(

×

g

t
)(

dt

13

Formas Cuadráticas

Se definen las formas cuadráticas en la misma forma que las formas
bilineales con la diferencia que se utiliza el mismo vector dos veces.

Dada una matriz A, una forma cuadrática puede escribirse como

xx,AQ

=

(

)

=

T

x

Ax

=

x,

Ax

Es conveniente definir formas simétricas o hermitianas, ya que si
x T

está definida sobre los reales, es un escalar

Ax

T

x

T

x

Ax

Ax
x

=

T

=

x
xAx
T
T
=
xAxAx
T
T

T

T

Ax
+
2

=

T

T

xAAx
⎞
⎛
⎟⎟
⎜⎜
⎠
⎝
43421

+
2
OA

14

Formas Cuadráticas

La matriz AO cumple la condición
⎛
5.0
⎜
⎝

(
AA
5.0

=

+

=

T
O

A
Entonces

T

T

)

T

A

+

T

A

(
A
5.0

T

)A

+

T

⎞
=⎟
⎠

A =

O A

T
O



Matriz

Hermitiana

Si A está definida sobre los reales

A =

O A

T
O



Matriz

Simétrica

En general cuando se habla de formas cuadráticas se asume que se
está trabajando con matrices simétricas. La forma cuadrática se puede
usar en el sentido de “norma” pero se debe tener en cuenta que no
siempre cumple con todas las propiedades de una norma. Por
ejemplo, el requisito de no negatividad y de cero solo cuando x = 0
no siempre se cumple. De hecho se tiene cinco posibilidades:

15

Formas Cuadráticas

• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se

xT

0>Ax

dice que es positiva definida.

• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se

0≥Ax

xT

dice que es positiva semidefinida.

• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se

0<Ax

xT

dice que es negativa definida.

• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se

0≤Ax

xT

dice que es negativa semidefinida.

• Si para algunos x ≠ 0 y para otros x ≠ 0, la

0>Ax

0<Ax

xT

xT

forma cuadrática A (simétrica) se dice que es indefinida.

Existen varias pruebas para determinar si una matriz es positiva,
negativa o indefinida:

16

Formas Cuadráticas

TEOREMA: Una forma cuadrática o la matriz A

simétrica que la define, es positiva (negativa)
definida si TODOS los valores propios de A son
positivos (negativos) o tienen parte real positiva
(negativa). La forma cuadrática es positiva
(negativa) semidefinida si TODOS los valores
propios de A son no negativos (no positivos) o
tienen parte real no negativa (no positiva).

17

Formas Cuadráticas

Sea A una matriz n × n con valores propios λi, se definen los menores
principales de A como

=Δ

1

a
11

=Δ

2

a
11
a

21

a
12
a

22

=Δ

3

a
11
a
a
31

21

a
12
a
a
32

22

a
13
a
a
33

23

n =Δ

A

Positiva definida: todos los menores principales son positivos.
Positiva semidefinida: todos los menores principales son no negativos
Negativa definida: los menores principales se alternan en signo,
empezando con un signo negativo para el menor 1x1.
Negativa semi definida: los menores principales son alternadamente
no positivo, no negativo ….

18

Formas Cuadráticas

La tabla resume dos métodos para determinar la “definición” de una
matriz A hermitiana

Clase

Valores Propios

Positiva Definida
Positiva Semidefinida
Negativa Definida
Negativa Semidefinida

Indefinida

0>iλ
0≥iλ
0<iλ
0≤iλ

Algunos
Algunos

0<iλ
0>iλ

Menores de A

0>Δi
0≥Δi
0
>Δ
2
0
≥Δ

2

0
<Δ
1
0
≤Δ

1

<Δ
3
≤Δ

3

L0
L0

Ninguno de los

Anteriores

19

Geometría formas cuadráticas

Las formas cuadráticas se pueden emplear para representar las
ecuaciones de objetos geométricos conocidos como “quadrics”.
Por ejemplo, sea x ∈ ℜn y la matriz A (n × n) simétrica positiva
definida, entonces

1=Ax
es la ecuación de un elipsoide en ℜn.

xT

⎛
⎜
⎜
⎜
)
⎜
⎜
⎜
⎝
z

(

(

x

−

x
0

y

−

y

0

z

−

z

0

(

x

x
2

o

−
a

2

)

(

y

+

2

)

y
2

o

−
b

+

x
0
y
z

0

0

0

0
1
c
2

⎞
⎟
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎟
⎠

x
y
z

−
−
−

1
a
2
0

0

0
1
b
2
0

2

)

z
2

o

−
c

=

1

=

1

⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

20

Geometría formas cuadráticas

Elipsoide

Cuales son las

direcciones de los ejes
principales?

Que tan lejos se

extiende la superficie
en cada dirección?

21

Geometría formas cuadráticas

Maximizar la ecuación del elipsoide sujeta a la

restricción establecida por un tamaño
normalizado.
H

xx
T

Ax

x

−

1(
γ

−

)

Derivando:

T

=

HT
∂
x
∂
H
∂
∂
γ

=

2

Ax

−

x
2
γ

=

0

1
−=

xx
T

=

0

22

Geometría formas cuadráticas

El multiplicador de LaGrange es igual a un valor

propio y x es el vector propio correspondiente.
Los extremos del elipsoide se presentan en los

vectores propios.

El valor extremo esta dado por:

T

xx
x
Ax
T
γ
=
xx
T


γ
=
2
x


γ
=


γ
=

23

Geometría formas cuadráticas

El valor extremo a lo largo de los ejes principales

está dado por los vectores propios.

Este resultado es cierto para una matriz

simét