MySQL - Duda

Hola, intento insertar una nueva tarea de un empleado, pero no me deja repetir el nombre del empleado, es decir, un empleado puede tener varias tareas, y ademas no tengo el campo nombre declarado como unique, y no se xq no puedo, tb me pasa cuando inserto clientes, no me deja repetir su nombre, aun cuando todos los demas datos son distintos, y tampoco lo tengo declarado como unique, que puede ser? gracias, por cierto tengo un campo identificador.

el codigo para insertar una tarea es el siguiente:

function insert_agenda($nombre, $dia, $hora, $razon)

{
$conn = db_connect();


$query = "select *
from agenda
where nombre='$nombre'";
$result = $conn->query($query);
if (!$result || $result->num_rows!=0)
return false;

$query = "insert into agenda values
('', '$nombre', '$dia', '$hora', '$razon','')";

$result = $conn->query($query);
if (!$result)
return false;
else
return true;
}

Quizas lo el campo lo tienes declarado como primary key verifica