matlab
Publicado por antonella linz (1 intervención) el 10/11/2010 00:42:48
olaaa
tengo una medio trabajo de metodos numericos
hay que saber programar en matlab
2 Simulacion deVariables aleatorias
En muchos ambitos de la ingeniera es importante contar con alguna manera de simular variables aleato-
rias que sigan una cierta distribucion de probabilidad. Por ejemplo, la Distribucion Exponencial
surge naturalmente en el estudio de tiempos de espera en colas de clientes o en el decaimiento radioactivo.
La Distribucion Normal, por su parte, es ubicua en casi todos los problemas ligados a estadsticas de
poblaciones, control de calidad, etc. Si bien es cierto que casi todos los softwares de ingeniera y estadsticos
poseen rutinas para generar variables aleatorias de casi cualquier distribucion, hay algunos casos en que la
distribucion de probabilidad de interes es particular del problema en cuestion, y en tal caso es necesario
poder simular tal variable aleatoria.
En esta parte de la tarea consideraremos el problema de generar variables aleatorias con una cierta dis-
tribucion de probabilidad. Espec camente, suponga que queremos generar tiradas de una variable aleatoria
X con distribucion normal N(0; 1) y que se cuenta con un algoritmo para generar tiradas con distribucion
uniforme U(0; 1). Se tiene el siguiente teorema:
Teorema Sea F la funcion de probabilidad acumulada de una variable aleatoria N(0; 1) , U una variable
aleatoria U(0; 1) (uniforme sobre intervalo [0; 1]). Entonces F 1(U) es una variable aleatoria con distribucion
N(0; 1).
Note que en la expresion anterior aparece la inversa de F, donde:
F(x) = 1
p2
Z x
1
e 1
2 t
2
dt
cuya inversa no se puede encontrar de manera analtica. Luego, el problema de calcular F 1(U) = x es
equivalente a resolver el problema no lineal F(x) = U.
Para resolver este problema se le pide:
a) Investigue sobre las rutinas que posee MatLab para generar variables aleatorias con distribucion de
probabilidad uniforme.
b) Estudie la utilidad de la rutina erf de MATLAB. >Cual es la interpretacion de la funcion error?
c) >Como se puede escribir la funcion F anterior utilizando la funcion erf?
d) Programe un metodo iterativo para resolver el problema F(x) = u0 donde u0 2 [0; 1]. En cualquier
caso, debe demostrar que el metodo iterativo que se programo converge a la solucion del problema.
e) Considerando la parte anterior construya una rutina que genere variables aleatorias siguiendo una
distribucion normal N(0; 1). Veri que, mediante la construccion de un histograma, que su algoritmo
efectivamente funciona (es decir, que el histograma generado es aquel de una variable aleatoria normal).
f) Finalmente, estudie la aplicabilidad de su metodo iterativo para simular otras variables aleatorias con
distribuciones de probabilidad distintas de la distribucion normal (y, por supuesto, distintas de la
distribucion exponencial, en cuyo caso la solucion del problema es inmediata: >por que?). Considere,
por ejemplo, las distribuciones Gama, Beta, Logstica, etc.
tengo una medio trabajo de metodos numericos
hay que saber programar en matlab
2 Simulacion deVariables aleatorias
En muchos ambitos de la ingeniera es importante contar con alguna manera de simular variables aleato-
rias que sigan una cierta distribucion de probabilidad. Por ejemplo, la Distribucion Exponencial
surge naturalmente en el estudio de tiempos de espera en colas de clientes o en el decaimiento radioactivo.
La Distribucion Normal, por su parte, es ubicua en casi todos los problemas ligados a estadsticas de
poblaciones, control de calidad, etc. Si bien es cierto que casi todos los softwares de ingeniera y estadsticos
poseen rutinas para generar variables aleatorias de casi cualquier distribucion, hay algunos casos en que la
distribucion de probabilidad de interes es particular del problema en cuestion, y en tal caso es necesario
poder simular tal variable aleatoria.
En esta parte de la tarea consideraremos el problema de generar variables aleatorias con una cierta dis-
tribucion de probabilidad. Espec camente, suponga que queremos generar tiradas de una variable aleatoria
X con distribucion normal N(0; 1) y que se cuenta con un algoritmo para generar tiradas con distribucion
uniforme U(0; 1). Se tiene el siguiente teorema:
Teorema Sea F la funcion de probabilidad acumulada de una variable aleatoria N(0; 1) , U una variable
aleatoria U(0; 1) (uniforme sobre intervalo [0; 1]). Entonces F 1(U) es una variable aleatoria con distribucion
N(0; 1).
Note que en la expresion anterior aparece la inversa de F, donde:
F(x) = 1
p2
Z x
1
e 1
2 t
2
dt
cuya inversa no se puede encontrar de manera analtica. Luego, el problema de calcular F 1(U) = x es
equivalente a resolver el problema no lineal F(x) = U.
Para resolver este problema se le pide:
a) Investigue sobre las rutinas que posee MatLab para generar variables aleatorias con distribucion de
probabilidad uniforme.
b) Estudie la utilidad de la rutina erf de MATLAB. >Cual es la interpretacion de la funcion error?
c) >Como se puede escribir la funcion F anterior utilizando la funcion erf?
d) Programe un metodo iterativo para resolver el problema F(x) = u0 donde u0 2 [0; 1]. En cualquier
caso, debe demostrar que el metodo iterativo que se programo converge a la solucion del problema.
e) Considerando la parte anterior construya una rutina que genere variables aleatorias siguiendo una
distribucion normal N(0; 1). Veri que, mediante la construccion de un histograma, que su algoritmo
efectivamente funciona (es decir, que el histograma generado es aquel de una variable aleatoria normal).
f) Finalmente, estudie la aplicabilidad de su metodo iterativo para simular otras variables aleatorias con
distribuciones de probabilidad distintas de la distribucion normal (y, por supuesto, distintas de la
distribucion exponencial, en cuyo caso la solucion del problema es inmediata: >por que?). Considere,
por ejemplo, las distribuciones Gama, Beta, Logstica, etc.
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