Linux/Unix Shell Scripting - Buscar bloque de texto en cada linea de un fichero

Hola, necesitaría una ayudita para trastear con sed o grep, tal vez awk, para buscar un texto contenido dentro de un fichero de texto.
Son muchas lineas,y el texto es variable, pero siempre esta encerrado entre unas etiquetas concretas.
Lo que quiero es el texto de en medio.

Por ejemplo:
Suponiendo que es un html, querria sacar todo lo que hay encerrado en la etiqueta <style="...........;">
EL problema es que puede empezar en al columna 3, en la 5 en la 20, no se sabe. Puede tener una longitud de 10, 40, 50 caracteres, tampoco se sabe. Solo sé que quiero lo que está contenido dentro de esa etiqueta.

Haba pensado ejecutarlo mas o menos buscando <style =" y cortando a la derecha, y lo que quede, cortar a la izquierda del primer ;">
Creo que bastaría, pero no domino mucho los parametros de estos comandos

Tengo que poder ejecutarlo en bash

Gracias

Yo te recomendaría hacerlo con awk, busca un tutorial (hay bastantes y lo básico es fácil de hacer).
Si no sabes de eso, también deberías leer algo sobre expresiones regulares.