Desde un applet no puedes abrir ficheros locales (cuestiones de seguridad), sólo puedes descargarlos del servidor.
Para ello, con clase applet, llamas al metodo getDocumentBase() (o algo parecido) que te dice la dirección url con path y todo de donde está tu página html.
A esa cadena, le añades tu fichero .txt (que debe estar en el servidor) y deberias poder abrirlo como un fichero normal.