ASP.NET - Eliminar Cookies

Saludos a todos gracias por su tiempo

Tengo el siguiente problema

Tengo un listado de clientes en un grid en dicho grid extraigo en código de cliente y lo almaceno en una cookies, luego llamo otra pagina asp , en esta otra pagina asp tengo una función en la cual obtiene la información del cliente por medio de esta cookies, todo funciona bien la primer vez pero la segunda vez aunque le asigne el nuevo valor a la cookies siempre consulta el código del primer cliente en que consulto y si me boy al internet explorer -herramientas -opciones de internet - eliminar cookies ya me funciona bien pero por cada cliente tendría que hacer estos pasos como puedo eliminar o dejar en blanco el contenido de una cookies

Lo que yo creo que que haria es hacerla que expire al instante de la siguiente manera
Response.Cookies["MY_COOKIE"].Expires = DateTime.Now;